高考专项训练空间几何大题.docVIP

空间几何 1．（2012?西山区）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，E、F分别为CD、PB的中点，AE=． （Ⅰ）求证：平面AEF⊥平面PAB． （Ⅱ）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值． 2．（2011?重庆）如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥BC，AC=AD=2，BC=CD=1 （Ⅰ）求四面体ABCD的体积； （Ⅱ）求二面角C﹣AB﹣D的平面角的正切值． 3．（2011?宜阳县）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB=CC1=2，∠ACB=90°，E、F分别是BA、BC的中点，G是AA1上一点，且AC1⊥EG． （Ⅰ）确定点G的位置； （Ⅱ）求直线AC1与平面EFG所成角θ的大小． 4．（2011?浙江）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上． （Ⅰ）证明：AP⊥BC； （Ⅱ）已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2．求二面角B﹣AP﹣C的大小． 5．（2011?辽宁）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=1/2PD． （I）证明：平面PQC⊥平面DCQ （II）求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值． 6．（2011?湖北）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，点E在侧棱AA1上，点F在侧棱BB1上，且AE=2，BF=． （I） 求证：CF⊥C1E； （II） 求二面角E﹣CF﹣C1的大小． 7．（2011?湖北）如图，已知正三棱柱ABC=A1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合． （Ⅰ）当CF=1时，求证：EF⊥A1C； （Ⅱ）设二面角C﹣AF﹣E的大小为θ，求tanθ的最小值． 8．（2011?杭州）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD是正三角形，且垂直于底面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，M为PC的中点． （1）求证：PA∥平面BDM； （2）求直线AC与平面ADM所成角的正弦值．  答案与评分标准 一．解答题（共30小题） 1．（2012?西山区）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，PA=PB=2，E、F分别为CD、PB的中点，AE=． （Ⅰ）求证：平面AEF⊥平面PAB． （Ⅱ）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值． 考点：用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定。 专题：综合题。 分析：（Ⅰ）由四边形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=PB=2，E、F分别为CD、PB的中点，AE=，知AD=CD=AB=2，在△ADE中，AE=，DE=1，所以AE⊥CD．由AB∥CD，知AE⊥AB．由此能够证明平面AEF⊥平面PAB． （Ⅱ）法一：由AE⊥平面PAB，AE?平面PAE，知平面PAE⊥平面PAB，由PA⊥平面ABCD，知PA⊥CD．由AE⊥CD，PA∩AE=A，知CD⊥平面PAE，由CD?平面PCD，知平面PAE是平面PAB与平面PCD的公垂面，由此能够求出平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值． （Ⅱ）法二：以A为原点，AB、AE分别为x轴、y轴的正方向，建立空间直角坐标系A﹣xyz，因为PA=AB=2，AE=，所以A（0，0，0）、P（0，0，2）、E（0，，0）、C（1，，0），则，，，由AE⊥平面PAB，知平面PAB的一个法向量为，求出平面PCD的一个法向量．由此能求出平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值． 解答：解：（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=CD=AB=2，在△ADE中，AE=，DE=1， ∴AD2=DE2+AE2， ∴∠AED=90°，即AE⊥CD． ∵AB∥CD，∴AE⊥AB． ∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD， ∴PA⊥AE． ∵PA∩AB=A，∴AE⊥平面PAB， ∵AE?平面AEF， ∴平面AEF⊥平面PAB．…（6分） （Ⅱ）解法一：由（1）知AE⊥平面PAB，而AE?平面PAE， ∴平面PAE⊥平面PAB，…（6分） ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD． 由（Ⅰ）知AE⊥CD，又PA∩AE=A， ∴CD⊥平面PAE，又CD?平面PCD， ∴平面PCD⊥平面PAE． ∴平面PAE是平面PAB与平面PCD的公垂面…（8分） 所以，∠APE就是平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的平面角．…（9分） 在RT△PAE中，PE2=AE2+PA2=3+4=7，即．…（10分） ∵PA=2，∴． 所以，平面PAB与平面PCD所成的锐二面角