高考复习函数.docVIP

§2.6　对数与对数函数 1．对数的概念 如果ax＝N(a0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中__a__叫做对数的底数，__N__叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果a0且a≠1，M0，N0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②logaMN＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM (n∈R)；④＝nmlogaM. (2)对数的性质 ①＝__N__；②logaaN＝__N__(a0且a≠1)． (3)对数的重要公式 ①换底公式：logbN＝logaNlogab (a，b均大于零且不等于1)； ②logab＝1logba，推广logab·logbc·logcd＝logad. 3．对数函数的图象与性质 a1 0a1 图象 性质 (1)定义域：(0，＋∞) (2)值域：R (3)过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 (4)当x1时，y0 当0x1时，y0 (5)当x1时，y0 当0x1时，y0 (6)在(0，＋∞)上是增函数 (7)在(0，＋∞)上是减函数 4.反函数 指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线__y＝x__对称． 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若log2(log3x)＝log3(log2y)＝0，则x＋y＝5.(　√　) (2)2log510＋log50.25＝5.(　×　) (3)已知函数f(x)＝lg x，若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝2.(　√　) (4)当x1时，logax0.(　×　) (5)当x1时，若logaxlogbx，则ab.(　×　) (6)函数f(x)＝lgx－2x＋2与g(x)＝lg(x－2)－lg(x＋2)是同一个函数．(　×　) 1．若x∈(e－1,1)，a＝ln x，b＝2ln x，c＝ln3x，则(　　) A．abc B．cab C．bac D．bca 答案　C 解析　∵x∈(1e，1)， ∴a＝ln x∈(－1,0)，b＝2ln x＝ln x2. 又y＝ln x是增函数，x2x， ∴ba. ∵c－a＝ln3x－ln x＝ln x(ln2x－1)0， ∴ca，∴bac，故选C. 2．函数f(x)＝lg(|x|－1)的大致图象是(　　) 答案　B 解析　由函数f(x)＝lg(|x|－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，值域为R.又当x1时，函数单调递增，所以只有选项B正确． 3．函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是____________________________________． 答案　(－12，＋∞) 解析　函数f(x)的定义域为(－12，＋∞)， 令t＝2x＋1(t0)． 因为y＝log5t在t∈(0，＋∞)上为增函数， t＝2x＋1在(－12，＋∞)上为增函数， 所以函数y＝log5(2x＋1)的单调增区间是(－12，＋∞)． 4．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f\a\vs4\al\co1(\f(13))＝0，则不等式0的解集为________________． 答案　\a\vs4\al\co1(0，\f(12))∪(2，＋∞) 解析　∵f(x)是R上的偶函数， ∴它的图象关于y轴对称． ∵f(x)在[0，＋∞)上为增函数， ∴f(x)在(－∞，0]上为减函数， 由f\a\vs4\al\co1(\f(13))＝0，得f\a\vs4\al\co1(－\f(13))＝0. ∴0?－13或13 ?x2或0x12， ∴x∈\a\vs4\al\co1(0，\f(12))∪(2，＋∞). 题型一　对数式的运算 例1　(1)若x＝log43，则(2x－2－x)2等于(　　) A.94 B.54 C.103 D.43 (2)已知函数f(x)＝log2x，x0，3－x＋1，x≤0，)则f(f(1))＋f(log312)的值是(　　) A．5 B．3 C．－1 D.72 答案　(1)D　(2)A 解析　(1)由x＝log43，得4x＝3，即2x＝3， 2－x＝3)3，所以(2x－2－x)2＝(3)3)2＝43. (2)因为f(1)＝log21＝0，所以f(f(1))＝f(0)＝2. 因为log3120，所以f(log312)＝＋1 ＝＋1＝2＋1＝3. 所以f(f(1))＋f(log312)＝2＋3＝5. 思维升华　在对数运算中，要熟练掌握对数的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量先化成同底的形式再进行运算． 　已知函数f(x)＝?\f(12f?x＋1?，x4，则f(2＋log23)的值为_____