高考数学专题复习讲练测——专题直线与次曲线专题复习讲练参数讨论.docVIP

§5参数讨论 　　一、复习要点1本节的主要内容是与解析几何有关的参数讨论问题．其中包括两个方面：①由已知含参数的方程讨论方程所表示曲线的类型及几何性质；②由曲线的几何性质确定曲线方程中参数的取值范围．这两个方面的问题是本节的重点，其中参数讨论中分类标准的确定及求参数范围中构建参数所满足的不等式是难点．2与解析几何有关的参数讨论问题，所涉及的知识范围广、变量多、综合性强，解答这类题对同学们的能力要求较高，故这类问题在高考试题中频繁出现，成为高考命题热点之一．　3在本节的复习中，应重点掌握解决以下两方面问题的方法和能力：　（1）由给定含参数的方程讨论方程表示何种曲线，实质就是对参数进行分类讨论．对某参数m进行分类讨论，应注意按如下步骤进行：①确定ｍ的全体集合P；②根据题设条件及曲线的方程的特点确定分类的标准（即分界点）；③把集合P按分类标准划分为若干个真子集Pｉ（ｉ＝1，2，…，n），且使其同时满足Ｐ１∪Ｐ２∪Ｐ３∪…∪Ｐｎ＝Ｐ，Ｐｉ∩Ｐｊ＝（ｉ≠ｊ，1≤ｉ，ｊ≤ｎ）；④按Ｐｉ逐一讨论求解．　　（2）对于求曲线方程中参数的取值范围问题，应根据题设条件及曲线的几何性质（曲线的范围、对称性、位置关系等）构造参数满足的不等式，通过求解不等式（组）求得参数的取值范围；或建立关于参数的目标函数，转化为求函数的值域求解．　　二、例题讲解　　例1　当ｍ变化时，讨论方程ｍｘ２＋（2－ｍ）ｙ２＝1表示的曲线形状，并画出简图．　　讲解：据题意，ｍ∈Ｒ，对全集R怎样分类，分类的标准是什么，必须从方程入手．已知方程是不含xy项的二元二次方程，这样的二元二次方程一般情况下表示的是圆锥曲线，又注意到方程中不含一次项ｘ、ｙ，故方程表示的曲线不会是抛物线．先考虑特殊情况：若ｍ＝0或ｍ＝2时，方程表示两条直线；当ｍ＝1时，方程表示圆；当ｍ≠0且ｍ≠1，ｍ≠2时，ｘ２、ｙ２项系数可能同号，也可能异号，故又需按ｍ（2－ｍ）＞0及ｍ（2－ｍ）＜0分类，至此分类的标准已基本确定．将各分界点标在数轴上，如图8-14，按从左到右依次讨论． 图8-14 　　（1）当ｍ＜0时，方程表示焦点在ｙ轴上的双曲线ｙ２／（1／（2－ｍ））－（ｘ２／－ｍ）＝1；　　（2）当ｍ＝0时，方程表示两条平行于x轴的直线?ｙ＝±（／2）；　　（3）当0＜ｍ＜1时，方程表示焦点在x轴上的椭圆（ｘ２／（1／ｍ））＋（ｙ２／1／（2－ｍ））＝1；　（4）当ｍ＝1时，方程表示圆ｘ２＋ｙ２＝1；　（5）当1＜ｍ＜2时，方程表示焦点在ｙ轴上的椭圆（ｙ２／1／（2－ｍ））＋（ｘ２／（1／ｍ））＝1；　　（6）当ｍ＝2时，方程表示两条平行于ｙ轴的直线ｘ＝±（／2）；　　（7）当ｍ＞2时，方程表示焦点在x轴上的双曲线（ｘ２／（1／ｍ））－（ｙ２／1／（ｍ－2））＝1．　　其简图如图8-15． ｍ＜0　　　　ｍ＝0　　　　0＜ｍ＜1　　　ｍ＝1 1＜ｍ＜2　　　　　　ｍ＝2　　　　　　　　ｍ＞2 图8-15 　　例2已知椭圆C的方程为（ｘ２／4）＋（ｙ２／3）＝1，试确定ｍ的取值范围，使得对于直线ｙ＝4ｘ＋ｍ，椭圆C上有不同的两个点关于该直线对称．　　讲解：思路1．若设所求ｍ的取值范围是M，则由题意可知，ｍ∈Ｍ等价于直线ｌ′：ｙ＝－（ｘ／4）＋ｂ，使得直线ｌ′与椭圆C有两个不同的交点P、Q，且P、Q关于直线ｙ＝4ｘ＋ｍ对称．故可先根据直线ｌ′与椭圆C有两个不同的交点确定ｂ的范围，再根据P、Q关于直线ｙ＝4ｘ＋ｍ对称及P、Q在椭圆上的条件求得ｂ与ｍ的关系，ｂ＝ｆ（ｍ），进而由ｂ的范围确定ｍ的范围．　　设P（ｘ１，ｙ１）、Ｑ（ｘ２，ｙ２）是椭圆C上关于直线ｌ：ｙ＝4ｘ＋ｍ对称的两点，如图8-16，则过P、Q的直线ｌ′的方程为ｙ＝－（1／4）ｘ＋ｂ，将ｌ′的方程代入C中，整理得 图8-16 　　13ｘ２－8ｂｘ＋16ｂ２－48＝0．　　∵　ｌ′与C有两个交点，　　∴　Δ＞0．　　由Δ＞0，解得－（／2）＜ｂ＜（／2）．　　　①　　又∵　ＰＱ的中点M在直线ｌ：ｙ＝4ｘ＋ｍ上及ｘ１＋ｘ２＝（8／13）ｂ，ｙ１＋ｙ２＝－（1／4）（ｘ１＋ｘ２）＋2ｂ＝（24／13）ｂ，从而有　　（1／2）（（24／13）ｂ）＝4·（1／2）·（8／13）ｂ＋ｍ.　　解得ｍ＝－（4／13）ｂ，即ｂ＝－（13／4）ｍ，代入①，解得　　－（2／13）＜ｍ＜（2／13）．　　思路3．因椭圆C上存在不同的两点关于直线ｌ：ｙ＝4ｘ＋ｍ对称，则两对称点P、Q连线的斜率为－（1／4），且中点在ｌ上，也必在椭圆C的斜率为－（1／4）的平行弦的中点的轨迹曲线上，故问题可转化为求曲线C的斜率为－（1／4）的平行弦中点的轨迹与直线ｌ的