高考数学(理)轮专题练习【专题】空间中的平行与垂直(含答案).docVIP

第2讲　空间中的平行与垂直 考情解读　1.以选择、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定理对命题的真假进行判断，属基础题.2.以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中等． 1．线面平行与垂直的判定定理、性质定理 线面平行的判定定理 ?a∥α 线面平行的性质定理 ?a∥b 线面垂直的判定定理 ?l⊥α 线面垂直的性质定理 ?a∥b 2.面面平行与垂直的判定定理、性质定理 面面垂直的判定定理 ?α⊥β 面面垂直的性质定理 ?a⊥β 面面平行的判定定理 ?α∥β 面面平行的性质定理 ?a∥b 提醒　使用有关平行、垂直的判定定理时，要注意其具备的条件，缺一不可． 3．平行关系及垂直关系的转化 热点一　空间线面位置关系的判定 例1　(1)设a，b表示直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列命题中正确的是(　　) A．若a⊥α且a⊥b，则b∥α B．若γ⊥α且γ⊥β，则α∥β C．若a∥α且a∥β，则α∥β D．若γ∥α且γ∥β，则α∥β (2)平面α∥平面β的一个充分条件是(　　) A．存在一条直线a，a∥α，a∥β B．存在一条直线a，a?α，a∥β C．存在两条平行直线a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α D．存在两条异面直线a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α 思维启迪　判断空间线面关系的基本思路：利用定理或结论；借助实物模型作出肯定或否定． 答案　(1)D　(2)D 解析　(1)A：应该是b∥α或b?α；B：如果是墙角出发的三个面就不符合题意；C：α∩β＝m，若a∥m时，满足a∥α，a∥β，但是α∥β不正确，所以选D. (2)若α∩β＝l，a∥l，a?α，a?β，则a∥α，a∥β，故排除A. 若α∩β＝l，a?α，a∥l，则a∥β，故排除B. 若α∩β＝l，a?α，a∥l，b?β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C.故选D. 思维升华　解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中． 　设m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，有以下四个命题： ①若α⊥β，m∥α，则m⊥β ②若m⊥α，n⊥α，则m∥n ③若m⊥α，m⊥n，则n∥α ④若n⊥α，n⊥β，则β∥α 其中真命题的序号为(　　) A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 答案　D 解析　①若α⊥β，m∥α，则m与β可以是直线与平面的所有关系，所以①错误； ②若m⊥α，n⊥α，则m∥n，所以②正确； ③若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n?α，所以③错误； ④若n⊥α，n⊥β，则β∥α，所以④正确． 故选D. 热点二　平行、垂直关系的证明 例2　如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证： (1)PA⊥底面ABCD； (2)BE∥平面PAD； (3)平面BEF⊥平面PCD. 思维启迪　(1)利用平面PAD⊥底面ABCD的性质，得线面垂直；(2)BE∥AD易证；(3)EF是△CPD的中位线． 证明　(1)因为平面PAD⊥底面ABCD， 且PA垂直于这两个平面的交线AD， 所以PA⊥底面ABCD. (2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点， 所以AB∥DE，且AB＝DE. 所以四边形ABED为平行四边形． 所以BE∥AD. 又因为BE?平面PAD，AD?平面PAD， 所以BE∥平面PAD. (3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形． 所以BE⊥CD，AD⊥CD， 由(1)知PA⊥底面ABCD. 所以PA⊥CD. 所以CD⊥平面PAD. 所以CD⊥PD. 因为E和F分别是CD和PC的中点， 所以PD∥EF.所以CD⊥EF. 所以CD⊥平面BEF. 又CD?平面PCD， 所以平面BEF⊥平面PCD. 思维升华　垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型． (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行． (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直． (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直． (4)证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直． 　如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点． 求证：(1)AF∥平面BCE； (2)平面BCE⊥平面CDE. 证明　(1)如图，取CE的中点G，连接FG，BG. ∵F