高考数学专题复习讲练测——专题直线与次曲线专题复习讲练圆锥曲线.docVIP

§4圆锥曲线 　　一、复习要点　1本节复习的主要内容有：　（1）进一步熟练圆锥曲线基本量的计算；（2）利用直线与圆锥曲线的方程研究直线与圆锥曲线的位置关系，进一步熟练掌握解决直线与圆锥曲线位置关系问题的思想方法，如公共点的个数问题、弦长问题、弦的中点问题，有关的垂直关系问题、对称问题、存在性问题等；　　（3）根据已知直线与圆锥曲线的位置关系，求直线或圆锥曲线方程问题．　　2本节的重点是利用直线和圆锥曲线的方程研究直线与圆锥曲线位置关系的思想方法．利用方程，通过代数推理研究直线与圆锥曲线的位置关系，综合性强，运算量大，代数推理能力要求高，因而也成为本课时复习中的一个难点．直线与圆锥曲线的位置关系问题一直是高考解析几何命题的热点，且常常作为压轴题或把关题在高考试题中出现．　　3在本节的复习中，应注意如下复习策略：　　熟练掌握有关直线和圆锥曲线的基础知识，解决直线与圆锥曲线问题的　　基本方法、基本技能．在熟练掌握常规方法的基础上，要不断探索，优化解题过程，简化运算，正确进行代数推理，提高解题速度和准确率．注意以下几点：　　（1）有关直线与圆锥曲线公共点的个数问题，应注意数形结合；　　（2）有关弦长问题，应注意运用弦长公式及韦达定理，设而不求；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义及焦半径公式的运用，以简化运算；　　（3）有关弦的中点问题，应注意灵活运用“差分法”，设而不求，简化运算；　　（4）有关垂直关系问题，应注意运用斜率关系及韦达定理，设而不求，整体处理；　　（5）有关圆锥曲线关于直线ｌ的对称问题中，若A、A′是对称点，则应抓住ＡＡ′的中点在ｌ上及ｋＡＡ′·ｋｌ＝－1这两个关键条件解决问题；　　（6）有关直线与圆锥曲线位置关系中的存在性问题，一般采用“假设反证法”或“假设验证法”．　　二、例题讲解例1　已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，过它的右焦点F２引倾斜角为（π／4）的直线ｌ交椭圆于M、N两点，M、N两点到椭圆右准线的距离之和为（8／3），它的左焦点F１到直线ｌ的距离为，求椭圆的方程． 图8-11 　　讲解：本题是根据已知直线与椭圆的位置关系，求椭圆的方程．因椭圆的位置确定，因而方程的形式确定，故可用待定系数法求解．　　如图8-11，设所求椭圆的方程为　　（ｘ２／ａ２）＋（ｙ２／ｂ２）＝1，其中ａ＞ｂ＞0．　　Ｆ１（－ｃ，0），Ｆ２（ｃ，0），ｃ＝，则直线ｌ的方程为ｙ＝ｘ－ｃ．由F１到ｌ的距离为，求得ｃ＝1.若设M（ｘ１，ｙ１）、N（ｘ２，ｙ２），则ｄ１＝（ａ２／ｃ）－ｘ１，ｄ２＝（ａ２／ｃ）－ｘ２．　　∵　ｃ＝1，　　∴　ｄ１＋ｄ２＝2ａ２－（ｘ１＋ｘ２）．　　据已知有2ａ２－（ｘ１＋ｘ２）＝（8／3）．　　　　　①　　欲求椭圆方程，已知ｃ＝1，所以只需求得ａ，由①知，只要将ｘ１＋ｘ２用a表示即可.要寻求ｘ１＋ｘ２与ａ的关系，须从直线与椭圆的方程组成的方程组入手． 由 （ａ２－1）ｘ２＋ａ２ｙ２＝ａ２（ａ２－1）， ｙ＝ｘ－1， 　　消去ｙ，得　　（2ａ２－1）ｘ２－2ａ２ｘ＋ａ２（2－ａ２）＝0．　　从而ｘ１＋ｘ２＝2ａ２／（2ａ２－1）．　　　　②　　②代入①解得ａ２＝2，则ｂ２＝1．　　故所求椭圆方程为（ｘ２／2）＋ｙ２＝1．　　本题也可以由焦半径公式，得｜ＭＦ２｜＋｜ＮＦ２｜＝2ａ－（1／ａ）（ｘ１＋ｘ２），再据椭圆第二定义，得｜ＭＦ２｜＋｜ＮＦ２｜＝（8／3），建立关于a的方程．　　本题在得到｜ＭＦ２｜＋｜ＮＦ２｜＝（8／3ａ）后，还可以利用弦长公式建立关于a的方程，但运算量大．后两种方法请同学们试试看，比较其优劣．　　例2　已知双曲线的一个焦点在坐标原点，与该焦点相应的准线方程是x=1,直线l与双曲线交于P１、P２两点.若线段P１P２的垂直平分线方程为x+y=0,且｜P１P２｜=2，求双曲线的方程．　　讲解：据已知条件，所求双曲线方程是非标准形式．但由已知焦点位置和相应准线知实轴在x轴上，且中心为（c,0），故可用待定系数法求解．若设P１P２的方程为y=x+m，与双曲线方程联立，用弦长公式求解，参数较多，运算量大，故从求点P１、P２的坐标入手．　　设所求双曲线的方程为（（x-c）２／a２）-（y２／b２）=1（其中a＞0,b＞0,c=.如图8-12.据题意，c-1=（a２／c）， 图8-12 　　即c２=c+a２,∴c=b２．　　设P1（x0,y0）,则P2（-y0,-x0）.　　∵｜P１P２｜=2,　　∴　　=2．　　∴x0+y0=2.　　　　　①　　又P１（x0,y0）、P２（-y0,-x0）都在双曲线上， ∴ （（x0-c）２／a２）-（y0２／