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高考数学必胜秘诀 函数 1.函数的奇偶性。 （1）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。 （2）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）： ①定义法： ②利用函数奇偶性定义的等价形式：或（）。 ③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于轴对称。 （3）函数奇偶性的性质： ①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反. ②如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数. ③若为偶函数，则. ④若奇函数定义域中含有0，则必有.故是为奇函数的既不充分也不必要条件。 ⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”。 ⑥复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”. ⑦既奇又偶函数有无穷多个（，定义域是关于原点对称的任意一个数集）. 2.函数的单调性。 （1）确定函数的单调性或单调区间的常用方法： ①在解答题中常用：定义法（取值――作差――变形――定号）、导数法（在区间内，若总有，则为增函数；反之，若在区间内为增函数，则，请注意两者的区别所在。 ②在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等. 特别要注意型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为，减区间为. ③复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减， 特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域，；二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“”和“或”；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示． （2）你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗?（①比较大小；②解不等式；③求参数范围）①函数的图象是把函数的图象沿轴向左平移个单位得到的。 ②函数(的图象是把函数的图象沿轴向右平移个单位得到的。 ③函数+的图象是把函数助图象沿轴向上平移个单位得到的； ④函数+的图象是把函数助图象沿轴向下平移个单位得到的； ⑤函数的图象是把函数的图象沿轴伸缩为原来的得到的。 ⑥函数的图象是把函数的图象沿轴伸缩为原来的倍得到的. 4. 函数的对称性。 ①满足条件的函数的图象关于直线对称。 ②点关于轴的对称点为；函数关于轴的对称曲线方程为； ③点关于轴的对称点为；函数关于轴的对称曲线方程为； ④点关于原点的对称点为；函数关于原点的对称曲线方程为； ⑤点关于直线的对称点为；曲线关于直线的对称曲线的方程为。特别地，点关于直线的对称点为；曲线关于直线的对称曲线的方程为 ；点关于直线的对称点为；曲线关于直线的对称曲线的方程为。 ⑥曲线关于点的对称曲线的方程为。 ⑦形如的图像是双曲线，其两渐近线分别直线 (由分母为零确定)和直线(由分子、分母中的系数确定)，对称中心是点。 ⑧的图象先保留原来在轴上方的图象，作出轴下方的图象关于轴的对称图形，然后擦去轴下方的图象得到；的图象先保留在轴右方的图象，擦去轴左方的图象，然后作出轴右方的图象关于轴的对称图形得到。 提醒： （1）从结论②③④⑤⑥可看出，求对称曲线方程的问题，实质上是利用代入法转化为求点的对称问题； （2）证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（3）证明图像与的对称性，需证两方面：①证明上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在上；②证明上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在上。 5. 函数的周期性。 （1）类比“三角函数图像”得： ①若图像有两条对称轴，则必是周期函数，且一周期为； ②若图像有两个对称中心，则是周期函数，且一周期为； ③如果函数的图像有一个对称中心和一条对称轴，则函数必是周期函数，且一周期为； （2）由周期函数的定义“函数满足，则是周期为的周期函数”得： ①函数满足，则是周期为2的周期函数； ②若恒成立，则； ③若恒成立，则. 6. 抽象函数：抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题。求解抽象函数问题的常用方法是： （1）借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数 ： ①正比例函数型： ---------------； ②幂函数型： --------------，； ③指数函数型： ------------，； ④对数函数型： -----，； ⑤三角函数型： ----- 。如已知是定义在R上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T，则____（答：0） （2）利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究： （3）利用一些方法（如赋值法（令＝0或1，求出或、令或等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究。