高考数学部曲(复习诊断练习)典型易错题会诊考点空间直线与平面.docVIP

考点10 空间直线与平面 ?空间直线与平面的位置关系 ?空间角 ?空间距离 ?简单几何体 ?利用三垂线定理作二面角的平面角 ?求点到面的距离 ?折叠问题 典型易错题会诊 命题角度1 空间直线与平面的位置关系 1．（典型例题）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F. （1）证明：PA//平面EDB； （2）证明：BP⊥平面EFD； （3）求二面角C—PD—D的大小. [考场错解]第（2）问证明：∵PD=DC，E为PC的中点，∴DE⊥PC，∴DF在平面PBC上的射影为EF，又由已知EF⊥PB，所以根据三垂线定理可得：DF⊥PB，又EF⊥PB，∴PB⊥平面EFD。 [专家把脉]直线在平面上的射影的概念理解错误，只有DE⊥PC，不能得出EF为DF在面PBC上的射影，应先证明DE⊥平面PBC，才能得出EF为DF在面PBC上的射影，再利用三垂线定理。 [对症下药]（1）如图，连接AC、AC交BD于O，连接EO。∵底面ABCD为正方形，∴O为AC的中点，在△PAC中，EO是中位线，∴PA//EO，又EO平面EDB，且PA平面EDB，所以PA//平面EDB； （2）∵PD⊥平面ABCD，∴平面PDC⊥平面ABCD，又底面ABCD为正方形，∴BC⊥CD，∴BC⊥平面PCD，∴BC⊥DE，又DE⊥PC，∴DE⊥平面PBC，∴DF在平面PBC上的射影为EF，又EF⊥PB，∴DF⊥PB，又PB⊥EF，∴PB⊥平面DEF； （3）由（2）知，PB⊥DF，故∠EFD是二面角C—PB—D的平面角。由（2）知，DE⊥EF，PD⊥DB，设正方形ABCD的边长为a则PD=DC=a，BD=a，PB=a，PC=a,DE=PC=,在Rt△PDBk ,OF=.在Rt△EFD中，sin∠EFD=,∴∠EFD=所以二面角C—PB—D的大小为 2．（典型例题）下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥面MNP的图形的序号是_________.(写出所有符合要求的图形序号) [考场错解]由于l在MN、NP、MP所在的面内的射影分别为各面正方形的对角线，由正方形的性质可得l⊥MN，l⊥MP，l⊥NP，∴（1）中l⊥面MNP；（2）中l在下底面的射影与MP垂直，∴l⊥MP，∴l⊥面MNP；（3）中取AB的中点E，连接ME、NE，∵l在下底面的射影垂直于EN，∴l⊥EN，∴l⊥面MEN，∴l⊥MN，同理l⊥MP，∴l⊥面MNP；（4）中l在面ADD1A1上的射影与MP垂直，∴l⊥MP，∴l⊥面MNP；（5）中取AA1中点E，连接ME，EP，l在面ADD1A1、面ABB1A1内的射影分别与ME，EP垂直，∴l⊥ME，∴l⊥面MP，得l⊥面MPN；综合知，本题的答案是（1）、（2）、（3）、（4）、（5） [专家把脉]直线与平面垂直的判定有误，证一条直线与一个面垂直，应该证明这条直线与该平面内的两条相交直线垂直，而错解中只证一条垂直，所以出错。 [对症下药]（1）中l在面ADD1A、A1B1C1D1，内的射影分别为AD1，B1D1，而AD1⊥MN，B1D1⊥MP，∴l⊥MN，l⊥MP, ∴l⊥面MNP；（2）中若l⊥MN,则取AA1的中点E，连接ME、NE，l在面ADD1A1内的射影为AD1而AD1⊥ME，∴l⊥ME，结合l⊥MN，得l⊥面MEN，∴l⊥NE,这显然不可能，∴l与MN不可能垂直，∴l与面MNP不垂直；（3）类似（2）的证明，可得l与面MNP不垂直；（4）中l⊥MP易证，而MN∥AC，l⊥AC，∴l⊥MN，∴l⊥面MNP；（5）中取AA1中点E，连接ME，PE，可证得l⊥面MEP，∴l⊥MP，同理可证l⊥NP，∴l⊥面MNP，综上知，本题的正答案是（1）、（4）、（5）。 3．（典型例题）如图10-4所示，在正三棱锥A—BCD中，∠BAC=30°，AB=a，平行于AD、BC的截面EFGH分别交AB、BD、DC、CA于E、F、G、H。 （1）判定四边形EFGH的形状，并说明理由； （2）设P是棱AD上的点，当AP为何值时，平面PBC⊥平面EFGH，请给出证明。 [考场错解]（1）∵AD∥平面EFGH，又平面ACD平面EFGH=HG，∴AD∥HG，同理AD∥EF，∴EF∥HG，同理EH∥FG，∴四边形EFGH为平行四边形； （2）取AD中点P，连接BP、CP，∵ABCD为正棱锥，所以BP⊥AD，CP⊥AD，∴AD⊥面BCP，又由（1）知HG∥AD，∴HG⊥面BCP，∴P为所求，此时AP=. [专家把脉]正三棱锥的性质不熟悉而出错，正三棱锥的相对的棱互相垂直；正三棱锥的三个侧面是等腰三角形不是等边三角形。 [对症下药]（1）∵AD∥面EFGH，面AC