高考真题——理科数学(安徽卷).docVIP

2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） 数学（理科） 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）设是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（ ） （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 （2）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） （A） （B） （C） （D） （3）设：，：，则是成立的（ ） （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （4）下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是（ ） （A） （B） （C） （D） （5）已知是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） （A）若垂直于同一平面，则与平行 （B）若平行于同一平面，则与平行 （C）若不平行，则在内不存在与平行的直线 （D）若不平行，则与不可能垂直于同一平面 （6）若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为（ ） （A）8 （B）15 （C）16 （D）32 （7）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ） （A） （B） （C） （D） （8）是边长为2的等边三角形，已知向量满足，，则下列结论正确的是（ ） （A） （B） （C） （D） （9）函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ） （A），， （B），， （C），， （D），， （10）已知函数（均为正的常数）的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是（ ） （A） （B） （C） （D） 二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在答题卡的相应位置。 （11）的展开式中的系数是 （用数字填写答案）。 （12）在极坐标系中，圆上的点到直线距离的最大值是_______。 （13）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的为________。 （14）已知数列是递增的等比数列，，，则数列的前项和等于___________。 （15）设，其中均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是_________（写出所有正确命题的编号）。①；②； ③；④；⑤。 三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡上的指定区域内。 （16）（本小题满分12分）在中，在中，，，，点在边上，，求的长。 （17）（本小题满分12分）已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结果。⑴求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；⑵已知每检测一件产品需要费用100元，设表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求的分布列和均值（数学期望）。 （18）（本小题满分12分）设，是曲线在点处的切线与轴交点的横坐标。⑴求数列的通项公式；⑵记，证明：。 （19）（本小题满分13分）如图所示，在多面体中，四边形，，均为正方形，为的中点，过的平面交于。⑴证明：；⑵求二面角余弦值。 （20）（本小题满分13分）椭圆的方程为，点为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，点在线段上，满足，直线的斜率为。⑴求的离心率；⑵设点的坐标为，为线段的中点，点关于直线的对称点的纵坐标为，求的方程。 （21）（本小题满分13分）设函数。⑴讨论函数在内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；⑵记，求函数在上的最大值；⑶在⑵中，取，求满足时的最大值。 2015年普通高校招生全国统考数学试卷安徽卷解答 一．BAACD CBDCA 二．11．35；12．6；13．3；4．；15．①③④⑤ 16．解：设的内角所对边的长分别是，由余弦定理得，故。又由正弦定理可得。又，故。所以在中由正弦定理可得。 17．解：⑴记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件，则； ⑵的可能取值为，， 200 300 400 ，。故的分布列如右表，且。 18．解：⑴由题，故曲线在点处的切线斜率为，从而切线方程为。令，得切线与轴交点的横坐标； ⑵由⑴知，故。当时，因为，所以。综上得证。 19．解：⑴由正方形的性质可知，且，所以四边形是平行四边形，从而