高考轮复习数学：多面体与正多面体.docVIP

9.11 多面体与正多面体 ●知识梳理 1.每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体. 2.正多面体有且只有5种.分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体. ●点击双基 1.一个正方体内有一个内切球面，作正方体的对角面，所得截面图形是 答案：B 2.正多面体只有_____________种，分别为________________. 答案：5 正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体 3.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、BB1的中点，则直线AM与CN所成的角的余弦值是_____________. 解析：过N作NP∥AM交AB于点P，连结C1P，解三角形即可. 答案： ●典例剖析 【例1】 已知甲烷CH4的分子结构是中心一个碳原子，外围有4个氢原子（这4个氢原子构成一个正四面体的四个顶点）.设中心碳原子到外围4个氢原子连成的四条线段两两组成的角为θ，则cosθ等于 A.－ B. C.－ D. 解析：将正四面体嵌入正方体中，计算易得 cosθ==－（设正方体的棱长为2）. 答案：A 【例2】 试求正八面体二面角的大小及其两条异面棱间的距离. 解：如图，设正八面体的棱长为4a，以中心O为原点，对角线DB、AC、QP为x轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（0，－2a，0）、B（2a，0，0）、C（0，2a，0）、P（0，0，2a），设E为BC的中点，连结PE、QE、OE，则∠PEQ=2∠PEO即为所求二面角的平面角，∵OE=2a，OP=2a，∴tan∠PEO=，∠PEQ=2arctan.设n=（x，y，z）是AB与PC的公垂线的一个方向向量，则有n·=x+y=0，n·=y－z=0，解得 n=（－1，1，1），所以向量=（－2a，2a，0）在n上的射影长d==即为所求. 特别提示 由于正多面体中的等量关系、垂直关系比较多，所以便于建立直角坐标系，运用解析法处理.要注意恰当选取坐标原点，一般取其中心或顶点（如正四棱柱）. 【例3】 三个12×12 cm的正方形，如图，都被连结相邻两边中点的直线分成A、B两片〔如图（1）〕，把6片粘在一个正六边形的外面〔如图（2）〕，然后折成多面体〔如图（3）〕，求此多面体的体积. 解法一： 补成一个正方体，如图甲，V=V正方体=×123=864 cm3. 甲 乙 解法二：补成一个三棱锥，如图乙，V=V大三棱锥－3V小三棱锥=864 cm3. 思考讨论 补形的方法可将不规则的几何体转化成规则的几何体，这是求多面体体积的常用方法. ●闯关训练 夯实基础 1.每个顶点处棱都是3条的正多面体共有 A.2种 B.3种 C.4种 D.5种 解析：正多面体只有5种. 答案：B 2.如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，E、F分别为AB、BC的中点，则异面直线C1O与EF的距离为_____________. 答案： 培养能力 3.四面体的一条棱长是x，其他各条棱长为1. （1）把四面体的体积V表示为x的函数f（x）； （2）求f（x）的值域； （3）求f（x）的单调区间. 解：（1）设BC=x，则S到平面ABC的垂足O是△ABC的外心，连结AO并延长交BC于D，则D是BC的中点，且AD⊥BC，求得AD=，S=. 设△ABC的外接圆的半径为R，求得R=，SO=， ∴V=S·SO=（0＜x＜）. （2）f（x）== =， ∵0＜x2＜3，∴f（x）∈（0，）. （3）∵当x=时，f（x）取得最大值， 又∵0＜x＜，∴f（x）的单调递增区间是（0，］，递减区间是［，）. 4.（文）已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，O为AC与BD的交点，M为DD1的中点. （1）求证：直线B1O⊥平面MAC； （2）求二面角B1—MA—C的大小. （1）证明：∵BB1⊥平面ABCD，OB⊥AC， ∴B1O⊥AC. 连结MO、MB1，则MO=，B1O=，MB1=3. ∵MO2+B1O2=MB12，∴∠MOB1=90°. ∴B1O⊥MO. ∵MO∩AC=O，∴B1O⊥平面MAC. （2）解：作ON⊥AM于点N，连结B1N. ∵B1O⊥平面MAC，∴AM⊥平面B1ON. ∴B1N⊥AM. ∴∠B1NO就是二面角B1—MA—C的平面角. ∵AM=，CM=，∴AM=CM. 又O为AC的中点，∴OM⊥AC.则ON=OAsin∠MAO== . 在Rt△B1ON中，tan∠B1NO==， ∴∠B1NO=arctan，即所求二面角的大小为arctan