学案空间中的垂直关系.pptVIP

1.一条直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线不一定垂直于这个平面.2.直线和平面垂直判定定理中“平面内的两条相交直线”是不能转换为“平面内的无数条直线”之类的条件的.3.两个平面垂直是通过这两个平面所成的二面角的度数来定义的，同时也给我们提供了一种证明方法：求二面角法. 4.欲证两个平面互相垂直，可证明由它们组成的二面角的平面角为直角（必须先作出平面角来），因此这个定义既是平面和平面垂直的判定又是性质.5.两个平面垂直的判定定理不仅是判定两个平面垂直的依据，而且是找出垂面的依据（即在经过该平面的垂线的平面内找）. * * * * 学案5 空间中的垂直关系 以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理. 空间中的垂直关系 1.在客观题、解答题中以特殊几何体为载体考查线面垂直、面面垂直关系以及逻辑推理能力. 2.考查线面角、面面角的方法，考查作图、证明、计算空间想像能力和推理论证能力。 3.近年来开放型问题不断在高考试题中出现，这说明高考对学生的能力要求越来越高，这也符合新课标的理念，因而在复习过程中要善于对问题进行探究.立体几何中结合垂直关系，设计开放型试题将是新课标高考命题的一个热点考向. 1.直线与平面垂直的定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作 .直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做垂足. 根据定义，过一点 直线与已知平面垂直；过一点 与已知直线垂直. l⊥α 有且只有一条 有且只有一个平面 2.判定定理和性质定理 （1）判定定理： ，则该直线与此平面垂直. （2）性质定理： . 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直 垂直于同一个平面的两条直线平行 结论 (b为a内的任一条直线) 条件 图形 性质 判定 如图,AB为圆O的直径,C为圆周上异于AB的任一点,PA⊥面ABC,问:图中共有多少个Rt△? 【分析】找出直角三角形,也就是找出图中的线线垂直. 考点1 线线垂直问题 【解析】∵PA⊥面ABC, ∴PA⊥AC,PA⊥BC,PA⊥AB. ∵AB为圆O的直径,∴AC⊥BC. 又∵AC⊥BC,PA⊥BC,PA∩AC=A, ∴BC⊥面PAC. ∵PC平面PAC,∴BC⊥PC. 故图中有四个直角三角形:△PAC,△PBC,△PAB,△ABC. 【评析】线线垂直可由线面垂直的性质推得,直线和平面垂直,这条直线就垂直于平面内所有直线,这是寻找线线垂直的重要依据. 如图,已知矩形ABCD,过A作SA⊥平面AC,再过A作AE⊥SB交SB于E,过E作EF⊥SC交SC于F. (1)求证:AF⊥SC; (2)若平面AEF交 SD于G,求证:AG⊥SD. 证明: (1)∵SA⊥平面AC,BC平面AC, ∴SA⊥BC, ∵四边形ABCD为矩形,∴AB⊥BC,∴BC⊥平面SAB, ∴BC⊥AE,又SB⊥AE,∴AE⊥平面SBC, ∴AE⊥SC,又EF⊥SC, ∴SC⊥平面AEF,∴AF⊥SC. (2)∵SA⊥平面AC,∴SA⊥DC, 又AD⊥DC,∴DC⊥平面SAD,∴DC⊥AG, 又由(1)有SC⊥平面AEF,AG平面AEF, ∴SC⊥AG,∴AG⊥平面SDC, ∴AG⊥SD. 如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点. （1）求证：MN⊥CD； （2）若∠PDA= ， 求证：MN ⊥ 平面PCD. 考点2 线面垂直 【分析】（1）因M为AB中点，只要证△ANB为等腰三角形，则利用等腰三角形的性质可得MN⊥AB. （2）已知MN⊥CD，只需再证MN⊥PC，易看出△PMC为等腰三角形，利用N为PC的中点，可得MN⊥PC. 【证明】 (1)如图,连接AC，AN，BN， ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC， 在Rt△PAC中，N为PC中点， ∴AN= PC. ∵PA⊥平面ABCD， ∴PA⊥BC，又