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第五章 定积分及其应用 第一节 定积分的概念与性质 二、定积分的定义 定积分的几何意义 定积分存在定理(可积充分条件) 三、定积分的性质 小 结 练 习 题 前 前 定理1 定理2 对定积分的补充规定: 说明 在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小． 证明 （此性质可以推广到有限多个函数作和的情况） 性质1 证明 性质2 补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立. 例 若 （定积分对于积分区间具有可加性） 则 性质3 证明 性质4 性质5 性质5的推论： 证明 （1） （定积分不等式性质） 证明 说明： 可积性是显然的. 性质5的推论： (绝对值不等式性质) 解 令 于是 证明 （此性质可用于估计积分值的大致范围） 性质6 解 解 证明 由闭区间上连续函数的介值定理知 性质7（定积分中值定理） 积分中值公式 使 即 积分中值公式的几何解释： 解 由积分中值定理知有 使 (定积分第二中值定理 .) 7 和 １．定积分的实质：特殊和式的极限． ２．定积分的思想和方法： 分割 化整为零 求和 积零为整 取极限 精确值——定积分 求近似以直（不变）代曲（变） 取极限 3．定积分的性质 （注意估值性质、积分中值定理的应用） 4．典型问题 （１）估计积分值； （２）不计算定积分比较积分大小． 证 命题得证 所以可积必有界. * 本章主题词：曲边梯形的面积、定积分、变上限的积分、牛顿-莱布尼茨公式、换元积分法、分部积分法、广义积分。 数学不仅在摧毁着物理科学中紧锁的大门，而且正在侵入并摇撼着生物科学、心理学和社会科学。会有这样一天，经济的争执能够用数学以一种没有争吵的方式来解决，现在想象这一天的到来不再是谎缪的了。 伽德纳 Archimedes a b x y o 实例1 （求曲边梯形的面积） 一、定积分问题的提出 a b x y o a b x y o 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然:小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积． （四个小矩形） （九个小矩形） Aera=? 公元前二百多年前的阿基米德就已会用此法求出许多不规则图形的面积 阿基米德 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 播放 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 曲边梯形如图所示： （1）分割 （2）近似代替 （3）求和 （4）取极限 曲边梯形面积为 求曲边梯形面积所用的方法步骤： 分割、 近似代替、 求和、 取极限 . 实例2 （求变速直线运动的路程） 思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值． （1）分割 （3）求和 （4）取极限 （2）近似代替 定义 被积函数 被积表达式 积分变量 记为 积分上限 积分下限 黎曼积分 积分和 注意: 则 则当 例1 利用定义计算定积分 解 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值 * * * *