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实变函数()

第二节 可测集 Lebesgue外测度(外包) 1.可测集的定义 例:零集E必为可测集 2.Lebesgue可测集的性质 例:设[0,1]中可测集A1,A2 , … ,An 满足条件 则 必有正测度。 单调可测集列的性质 * * 第三章 测度论 次可数可加性(即使An两两不交) 即:用一开区间列“近似”替换集合E 注:Lebesgue开始也是利用外测度与内测度相等定义可测集, 但此方法对处理问题很不方便,故我们采用上述方法。 E Ec T∩E T∩Ec (Caratheodory条件) ,则称E为Lebesgue可测集, 此时E的外测度称为E的测度,记作 即E为可测集。 证明:(充分性) (必要性)令 (a)集合E可测( ) 注:上式由前面可测集的等价刻画立刻可得,且可以推广 到任意有限个集合。 推论:设A,B为可测集合, 即可测集类关于差,余,有限交和可数交, 有限并和可数并运算封闭; (b)若A,B,Ai 可测,则下述集合也可测 (c)若 Ai两两不交,则(测度的可数可加性) (d)若 A,B可测, 则有可减性 也可测。 若 可测已证明,则易知 易知Ac可测 证明:由可测集的定义: (1) (2) (3) (4) T  B A 下面证明若A,B 可测, 则 可测 下面证明若A i 可测,且两两不交,则 注:左边的极限是集列极限, 而右边的极限是数列极限, (b)中的条件 不可少 (a) 若An是递增的可测集列,则 (b) 若An 是递减的可测集列且 如An = ( n, +∞) ( n * * *

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