实验数据的插值.pptVIP

第三章 实验数据的插值 掌握插值的基本原理 掌握拉格朗尔插值多项式的构造方法 了解牛顿插值多项式的构造方法 余项： 我们可以知道，用y(x)近似f(x),除了在插值节点 处 ，在其余的x 处都有误差。 令 ，称R(x)为插值多项式的余项， 越小，近似程度越高。 插值条件: y(x) 为次数不超过 n 的多项式. 在插值节点上， yi = y(xi) ，i = 0,1,2,…,n 插值函数 Matlab中有两种一维插值，即多项式插值和基于FFT插值。在此我们重点讲解多项式插值。 函数interp1()进行一维插值。语法形式为 yi=interp1(x,y,xi,method) x和y为给定的数据的向量，长度相同。 xi 为包含要插值的点的向量。 method指定插值的一种方法：默认为线性算法； ‘nearest’,将插值点的值设置为已知数据点中距离最近的点的值；‘linear’,用线性函数拟合每对数据点，并返回xi处的相关函数值；‘spline’,用三次样条函数拟合每对数据点，用‘spline’函数在插值点处进行三次样条插值；‘cubic’为三次插值。 注：所有的插值方法要求x是单调的 3.1 线性插值 问题： 已知: y0 = f(x0), y1 = f(x1) 构造插值函数: y(x) = Ax + B y(x) 为不高于一次的多项式 满足: y0 = y(x0) , y1 = y(x1) 求解方程组，可以得到 A , B。 插值函数一般可以写成两种更常用的形式: 拉格朗日插值公式和牛顿插值公式。 插值函数两种形式 插值基函数性质: 我们可以统一写为： i , j=0,1 我们称这种形式的插值为拉格朗日插值。 拉格朗日插值函数可写成: 根据点斜式公式: 或者 一阶差商: 一阶泰勒展开: 牛顿插值公式: 3.余项（线性插值的误差） 插值余项: 线形插值余项满足: 3.2 二次插值（抛物线插值） 给定函数y = f(x)的三个插值节点: 求过这三点的一个二次多项式. 拉格朗日插值: 插值基函数满足: 得到: 牛顿插值: 一阶差商: 二阶差商: 二阶泰勒展开: 牛顿插值公式: 3.4 n次插值 给定函数y = f(x)的n+1个插值节点: 求过这n+1个点的一个n次多项式. 设插值函数为: y(x) = A0 + A1x + A2x2 + … + Anxn 根据插值条件，系数 应该满足以下n+1阶线性方程组 写成矩阵形式： 可写成: XA = Y X的行列式为范德蒙行列式, 由于节点互异 所以 3.3 逐次线性插值. 给定函数y = f(x)的三个插值节点: 先用(x0, y0), (x1, y1) 做线性插值: 再用(x0, y0), (x2, y2) 做线性插值: 最后用[x1, y(1)(x)], [x2, y(2)(x)]做线形插值: 此函数为二次多项式,经过三个插值节点.虽然 上式也是二次多项式，但是经过两次插值 而构成的，这样有利于在计算机上的实现。 3.5 二元函数的拉格朗日多点插值公式 已知: 求二元函数 z(x,y) 经过上述节点. 令: 二元函数插值公式: function y = cf(x,w) % 差分法剔除错误值 n = length(x); y(1) = x(1); y(2) = x(2); for i=1:n-2 xx = 2*x(i+1)-x(i); d = abs(x(i+2)-xx); if d = w y(i+2) = xx; else y(i+2) = x(i+2); end end x=rand(1,1000); hist(x,20) y=cf(x,0.1); hist(y,20) * 问题的引入： 是否可以寻找函数 f(x) 的一个近似表达式 y(x),使得