导数应用(二).pptVIP

高等院校非数学类本科数学课程 —— 一元微积分学 大 学 数 学（1） 第二十一讲 导数的应用(三) 授课老师：刘长荣 —— 平面曲线的曲率 第六章 一元微积分的应用 本章学习要求： 熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法。 能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。 掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解相关变化率和最大、最小值的应用问题。 知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念，并能计算平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。 第六章 导数的应用 第 五 节 平面曲线的曲率 一、曲率的概念 二、曲率的计算公式 三、参数方程下曲率的计算公式 四、曲率圆、曲率中心 我们已经讨论过曲线的凹凸性 , 知道如 判定曲线的弯曲程度 . 而在许多实际问题中 何判断曲线的弯曲方向 , 但是还不能描述和 都必须考虑曲线的弯曲程度 , 例如 , 道路的 弯道设计 , 梁的弯曲程度 , 曲线形的切削工 具的设计等等 . 你认为应该如何描述 曲线的弯曲程度 ? 单位弧长上的转角 ︵ 一、曲率的概念 例1 解 求半径为 R 的圆上任意一点处的曲率 . 如图所示 , 在圆上任取一点 M , 则 ︵ 故 即圆上点的曲率处处相同： 半径越小的圆 , 弯曲得越厉害 . 设曲线方程为 则在曲线上点 处的曲率为 二、曲率的计算公式 证 如图所示 , 曲线在 故 又 从而 例2 解 直线上任意一点处的曲率均为零 . 俗话说 , 直线不弯曲 . 例3 解 哪一点曲率最大 , 哪一点曲率最小 . 利用参数方程求导法求出 故 得驻点 故在各象限中 + + Ⅳ Ⅲ Ⅱ Ⅰ 由此可得 : 将它们代入曲率计算公式中即可得： 三、参数方程下曲率的计算公式 例4 解 会出现导数的分母 为零的情形 , 相同 , 对称 , 故原问题可以转为求曲线 图形关于 现在问你一下 : (假设单位是统一的) 如果告诉你一条曲线在点 M 处的曲率为 你能想象出它的弯曲程度吗？ 如果告诉你有一个半径为 5 的圆 , 你能想象 出该圆上任何一点处的弯曲程度吗？ 由此及前面讲的例题1 , 你有什么想法？ 曲率圆 曲率半径 曲率中心 处可用一个相应的圆来描述曲线的弯曲程度 作其 法线, 在法线指向曲线凹向的一侧上取一点 Q , 使 以 Q 为中心 , R 为半径所作的圆称为曲线在点 M 处的曲率圆 , 圆心 Q 称为曲率中心 , R 称为 曲率半径 . 三、曲率圆、曲率中心 曲率圆与曲线在点 M 处相切 , 且在点 M 处 两者曲率相同 . 曲率圆与曲线在点 M 处具有相同的一、二 阶导数 . 当讨论曲线在点 M 处与一、二阶 导数有关的局部性质时, 可以通过讨论其相 应的曲率圆的局部性质来实现 . 曲率圆的性质