导数应用小结.pptVIP

拉格朗日(Lagrange)中值定理 柯西(Cauchy)中值定理 曲线的凹凸性 * 洛必达法则 Rolle 定理 Lagrange 中值定理 常用的 泰勒公式 Cauchy 中值定理 Taylor 中值定理 单调性,极值与最值, 凹凸性,拐点,函数 图形的描绘; 曲率;求根方法. 导数的应用 一、主要内容 注： 表示 f(x) 在[a,b]连续.(C:Continue) 表示 f(x) 在(a,b)可导.(D:Derivative ) 几何意义：满足定理条件的曲线在(a,b)内存在与x轴平行的切线， 至少有一实根 罗尔定理 几何意义：满足定理条件的曲线在(a,b)内必存在切线，其斜率为 若 函数f(x), g(x)满足 几何意义：满足条件的曲线 在(a,b)内必存在切线，斜率为 定理（洛必达发则） 注：a 可为有限数或 例1 例9 解 关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型 . 步骤: 例11 解 步骤: 步骤: 例12 解 例12 解 例16 解 极限不存在 洛必达法则失效. 注意：洛必达法则的使用条件: 三、泰勒(Taylor)中值定理 f(x)在(a,b)内具有(n+1)阶导数 定理 （函数在（a,b）上可导） 则，f(x) 在(a,b)上单调上升函数 则，f(x) 是(a,b)上单调下降函数 函数的极大值与极小值统称为极值, 函数的极大值与极小值点统称为极值点. 定义 设f在(a,b)上有定义，如果 存在 则称 是 f(x) 的极大（小）值点。 f(x) 一个极大(小)值。 定义 设f是定义在(a,b)上的函数， （驻点）或 f 在 处不可导时， 被称为是临界点 f 的所有临界点就是临界点集 的临界点 所以临界点集为{0,1.-1} 定理（极值点的必要条件） 极值点 临界点 是驻点但不是局部极值点 是极 值点，则必是 f 的临界点。 设 f 是定义在(a,b)上的函数， 是极大值点 是极大值点 是极小值点 定理 (第二充分条件) 求函数在(a,b)的局部极值的步骤: （1）求函数 f 在（a,b）中的临界点集 的点(驻点)或不可导点 A）判断 在每一个临界点两侧的正负 （2）列表判断每一个临界点是否为极值点， （3）若是极值点，求出其值（极值） B) 若 存在， 判断 的正负 最大值与最小值，极值的应用 结论： 临界点 f(x) 在[a,b]上连续 闭区间[a,b]的最值 步骤: 1.求临界点; 2. 比较区间端点及临界点的函数值; 3. 最大的就是最大值,最小就是最小值; 开区间(a,b)上的函数可能有极值（最值） 也可能无极值（最值） 注意: 如果区间内部只有一个局部极值点, 则这个局部极值点就是极值（最值点）. (最大值点或最小值点) 不论 f 在开区间还是闭区间上， 问题:如何研究曲线的弯曲方向? 在(a,b)上单调 上升，图像凹 在(a,b)上单调 下降，图像凸 两侧f图像凹性不同 拐点 定理 方法1: 方法2: * *