导数的背景曲线在某点处的切线瞬时速度.pptVIP

* 引入: 一、切线问题： （1）对于简单的曲线，如圆和圆锥曲线，它们的切线是如何定义的？ （2）与曲线只有一个交点的直线是否一定是曲线的切线？ （3）曲线的切线与直线是否只有一个交点？ 二、最值问题： 求函数y=x3-2x-1，x∈[-1，1]的最大值和最小值。 第三章 导数 3.1.1曲线的切线 一.曲线的切线 β y=f(x) P Q M Δx Δy O x y β P y=f(x) Q M Δx Δy O x y 如图，曲线C是函数y=f(x)的图象，P(x0,y0)是曲线C上的任意一点，Q(x0+Δx,y0+Δy)为P邻近一点，PQ为C的割线， PM//x轴,QM//y轴， β为PQ的倾斜角. P Q o x y y=f(x) 割线 切线 T 请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时，割线PQ绕着点P逐渐转动的情况. 我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P,即Δx→0时,若割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率. 即: 这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数平均变化率的极限. 注：（1）切线是割线的极限位置，切线的斜率是一个 极限 （2）若割线在P点有极限位置，则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线; （3）曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个. （3）曲线的切线与曲线是否只有一个交点吗？ 例1: 求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线的斜率、切线方程. Q P y = x 2 +1 x y - 1 1 1 O j M D y D x 求曲线上一点的切线的斜率一般可以分为三步： （1）求⊿y； 求曲线在某点处的切线方程：先利用切线的斜率，然后利用点斜式求切线方程. 练习:如图,已知曲线 , 求: (1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程. y x -2 -1 1 2 -2 -1 1 2 3 4 O P 即点P处的切线的斜率等于4. (2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0. 一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物 体在t到t+Δt这段时间内的平均速度为 二、瞬时速度： 平均速度反映了物体运动时的快慢程度,但要精确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度,也既需要通过瞬时速度来反映. 物体在时刻t的瞬时速度，就是物体在t到t+Δt这段时间内，当Δt→0时的平均速度的极限； 例3: 物体作自由落体运动,运动方程为： g=10m/s2 ，位移单位是m，时间单位是s，. 求： (1) 物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度； (2) 物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度； (3) 物体在t=2(s)时的瞬时速度. *