平面曲线的曲率D_.pptVIP

第七节 一、 弧微分 二、曲率及其计算公式 例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 . 曲率K 的计算公式 说明: 例2. 我国铁路常用立方抛物线 例2. 我国铁路常用立方抛物线 例3. 求椭圆 三、 曲率圆与曲率半径 设曲线方程为 例4. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨 例5. 求摆线 摆线 内容小结 思考与练习 作业 YANGZHOU UNIVERSITY Southern Medical University 曲线的弯曲程度 与切线的转角有关 与曲线的弧长有关 机动 目录 上页 下页 返回 结束 主要内容: 一、 弧微分 二、 曲率及其计算公式 三、 曲率圆与曲率半径 平面曲线的曲率 第三章 设 在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB, 弧长 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则弧长微分公式为 或 几何意义: 若曲线由参数方程表示: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为 对应切线 定义 弧段 上的平均曲率 点 M 处的曲率 注意: 直线上任意点处的曲率为 0 ! 机动 目录 上页 下页 返回 结束 转角为 解: 如图所示 , 可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ; R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 有曲率近似计算公式 故曲率计算公式为 又 二阶可导, 设曲线弧 则由 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 若曲线由参数方程 给出, 则 (2) 若曲线方程为 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 作缓和曲线, 处的曲率. 说明: 铁路转弯时为保证行车 平稳安全, 求此缓和曲线在其两个端点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 且 l R. 其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 离心力必须 连续变化 , 因此铁道的 曲率应连续变化 . 作缓和曲线, 且 l R. 处的曲率. 其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 求此缓和曲线在其两个端点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 显然 在何处曲率最大? 解: 故曲率为 K 最大 最小 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求驻点: 设 从而 K 取最大值 . 这说明椭圆在点 处曲率 机动 目录 上页 下页 返回 结束 计算驻点处的函数值: 最大. 设 M 为曲线 C 上任一点 , 在点 在曲线 把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的 曲率圆 ( 密切圆 ) , R 叫做曲率半径, D 叫做 曲率中心. 在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系: (1) 有公切线; (2) 凹向一致; (3) 曲率相同 . M 处作曲线的切线和法线, 的凹向一侧法线上取点 D 使 机动 目录 上页 下页 返回 结束 且 求曲线上点M 处的 曲率半径及曲率中心 设点M 处的曲率圆方程为 故曲率半径公式为 满足方程组 的坐标公式 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由此可得曲率中心公式 (注意 与 异号 ) 当点 M (x , y) 沿曲线 移动时, 的轨迹 G 称为曲线 C 的渐屈线 , 相应的曲率中心 曲率中心公式可看成渐 曲线 C 称为曲线 G 的渐伸线 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 屈线的参数方程(参数为x). 点击图中任意点动画开始或暂停 削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适? 解: 设椭圆方程为 由例3可知, 椭圆在 处曲率最大 , 即曲率半径最小, 且为 显然, 砂轮半径不超过 时, 才不会产生过量磨损 , 或有的地方磨不到的问题. 例3 目录 上页 下页 返回 结束 ( 仍为摆线 ) 的渐屈线方程 . 解: 代入曲率中心公式 , 得 摆线 目录 上页 下页 返回 结束 半径为 a 的圆周沿直线无滑动地滚动时 , 其上定点 M 的轨迹即为摆线 . 参数的几何意义 摆线的渐屈线 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 弧长微分 或 2. 曲率公式 3. 曲率圆 曲率半径 曲率中心 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系? 答: 有公切线 ; 凹向一致 ; 曲率相同. 2. 求双曲线 的曲率半径 R , 并分析何处 R