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* 建筑力学 15.1 基本概念 压杆：工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆。 稳定性：杆件维持原有的平衡状态的能力称为稳定性。 微小扰动使小球离开原来的平衡位置，但扰动撤销后小球回复到平衡位置。 稳定平衡 微小扰动就使小球远离原来的平衡位置。 不稳定平衡 建筑力学 理想压杆：把轴线是笔直的、材料是均匀的、压力F的作用线 与轴线重合的压杆称为理想压杆。 失去稳定：压杆直线状态的平衡由稳定平衡过渡到不稳定平衡 称为失去稳定，简称失稳。 临界应力：对稳定平衡的压杆，逐步增大其轴向力，当轴向力 增大到一定值以后，压杆原有的稳定平衡状态就会 变为不稳定平衡状态。稳定平衡过渡到不稳定平衡 需要的最小轴向力称为临界压力，简称临界力，用 符号Fcr表示。 临界力Fcr是判别压杆是否会稳定的重要指标。当FFcr时，平衡是稳定的；当F≥Fcr时，平衡是不稳定的。在材料。尺寸、约束均已确定的前提下，压杆的临界力Fcr是个不确定值。不同的压杆，其临界力也是不同的。 F 稳定平衡 FFcr F 干挠力 F 撤去干挠力 稳定平衡：干挠力撤去之后，构件能够恢复到原有的平衡状态。 F 不稳平衡 F ≧Fcr F 干挠力 F 撤去干挠力 不稳定平衡：干挠力撤去之后，构件不能够恢复到原有的平衡状态。 建筑力学 15.2 压杆临界力的欧拉公式 两端铰支压杆的临界力 l Fcr y x x y y x Fcr M(x) 由平衡方程得： （a） 挠曲线近似微分方程为 （b） 将式（a）代入式（b）得 （c） 令 ，得微分方程： 建筑力学 通解为： 由 x = 0，y = 0；得B = 0，于是 由 x = l，y = 0；得 若A = 0，则 y=0，挠曲线为直线，无意义，只能 于是得： 由式 得： 上式为为压杆的最小临界力，但n = 0，Fcr= 0，故取n = 1。即 上式是两端铰支压杆临界力的欧拉公式。 建筑力学 其它支承压杆临界力的欧拉公式与此类似，写成统一形式： 其中? 称为杆的长度系数。 不同杆端约束的压杆临界力 直径、材料相同，而约束不同的圆截面细长压杆，哪个临界力最大。 [例] 2l (d) l (a) F (b) 1.3l F 1.7l (c) F 杆的长度系数与杆端约束情况有关，常见杆端约束的长度系数如下表。 l l 两端铰支 一端固定 一端自由 一端固定 一端铰支 两端固定 l l 约束情况 长度系数 压杆形状 建筑力学 15.3 欧拉公式的适用范围 临界应力总图 临界应力 临界力除以压杆横截面面积，所得应力称为临界应力。 引入记号： 则有： 上式为欧拉公式的另一种表达式。式中 ? 称为压杆的柔度或长细比，它是一个无量纲的量。柔度越大，即压杆越细，其临界应力越低，越易失稳。 建筑力学 欧拉公式的适用范围 欧拉公式是根据挠曲线近似微分方程得到的，而挠曲线近似微分方程是在材料线弹性基础上建立的，因此欧拉公式中的临界应力不得超过材料的比例极限，即 取?cr= ?P时的柔度值为?P，则有 或者 式中?P是判断欧拉公式是否适用的柔度。当?≥ ?P时，才能满足σ≤σp，欧拉公式才能适用，这种杆称为大柔度杆或细长杆。 建筑力学 临界应力总图 临界应力总图：压杆的临界应力与柔度的关系曲线，即?cr—?曲线。 [例] 1.5m y z 100 40 图示压杆的E=70GPa，?P=175MPa。此压杆是否适用欧拉公式，若能用，临界力为多少。 解： 由 可得 因?≥ ?P，此压杆为大柔度杆，欧拉公式适用，临界力为： 图示两端球形铰支细长压杆，弹性模量E＝200Gpa，试用欧拉公式计算其临界载荷。 (1) 圆形截面，d=25 mm，l=1.0 m； (2) 矩形截面，h＝2b＝40 mm，l＝1.0 m； (3) 16号工字钢，l＝2.0 m； [例] b P d l h z y y z 解：(1) 圆形截面杆：两端铰支： μ=1， (2) 矩形截面杆：两端铰支：μ=1， IyIz (3) 16号工字钢杆：两端球铰：μ=1， IyIz 查表Iy＝93.1×10-8 m4 *