函数的极值及其求法讲义.ppt

是方程 的一个解, 若 且 则 在 (A) 取得极大值 ; (B) 取得极小值 ; (C) 在某邻域内单调增加 ; (D) 在某邻域内单调减少 . 提示: A 3. 设 设 f ( x )连续，且 f ( a )是 f ( x )的极值， 问 f 2( a )是否是 f 2( x )的极值 . 证 则 得 f 2( a ) 是 f 2( x ) 的极小值; 不妨设 f ( a )是 f ( x )的极小值 , 有 由 f ( x )在 x = a 处连续，得 f 2( a )是 f 2( x )的极大值. 同理可讨论f ( a ) 是f ( x )的极大值的情况. 由极限的保号性 , 知 由 得 试问 为何值时, 在 时取得极值 , 还是极小. 解: 由题意应有 又 取得极大值为 备用题 求出该极值, 并指出它是极大 练 习 题 练习题答案 第十节 函数的极值与最值一、函数的极值及其求法 定义 使得 有 则称 为 的一个极大值点 (或极小值点 ) 极大值点与极小值点统称为极值点 . 极大值与极小值统称为极值 . 1) 函数的极值是函数的局部性质. 2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点(称为可疑极值点). 称 为 的一个极大值 (或极小值 ) 注意 函数极值的求法 定理1(函数取得极值的必要条件)(费马定理) 定义 注意: 例如, 设 在点 处具有导数, 且在 处取得极值, 则 定理2 (第一充分条件) (是极值点情形) 设 在点 处连续 , (1) 若 时, 而 时, 则 在点 处取得极大值; (2) 若 时, 而 时, 则 在点 处取得极小值; (3) 若 时, 的符号相同, 则 在点 处无极值. 求极值的步骤: (不是极值点情形) 例1 解 列表讨论 极大值 极小值 图形如下 例2 解 的极值 . 解 得驻点 不可导点 是极大值点， 其极大值为 是极小值点， 其极小值为 例3 求函数 不存在 定理3(第二充分条件) 证 同理可证(2). 二阶导数 , 且 则 在点 取极大值 ; 则 在点 取极小值 . 设函数 f (x) 在点 x0 处 具有 例4 解 图形如下 注意: 的极值 . 解: 令 得驻点 因 故 为极小值 ; 又 故需用极值的第一充分条件来判别. 例5. 求函数 则 1) 当 为偶数时, 2) 当 为奇数时, 为极值点 , 且 不是极值点 , 证 定理4 设 f (x) 在点 x0 处 具有n 阶导数，且 则 在点 取极大值 ; 则 在点 取极小值 . 点 为拐点 。 故 1) 当 为偶数时, 由极限的保号性,知 又 得 故 在点 取极大值 。 则 在点 取极小值 . 同理可证， 2) 当 为奇数时, 可证 在 点邻近两 侧异号, 故 在点 不取极值 。 故 当 为奇数时, 可证 在 点邻近两侧异号, 故点 为拐点 。 设 其中a 为常数 . 证明: 时, f (0) 为 f (x)的极小值 ; 时, f (0) 为 f (x)的极大值 . 证 时, f (0) 为 f (x)的极小值 ; 时, f (0) 为 f (x)的极大值 ; 时, 例6 f (0) 为 f (x)的极大值. 函数图形的描绘 步骤 : 1. 确定函数 的定义域 , 期性 ; 2. 求 并求出 及 3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ; 4. 求渐近线 ; 5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 . 为 0 和不存在 的点 ; 并考察其对称性及周 例7 解 非奇非偶函数,且无对称性. 定义域（-∞，+ ∞ ）\{0}, 列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点: 不存在 拐点 极值点 间断点 作图 小结 极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值. 驻点和不可导点是可疑极值点. 判别法 第一充分条件; 第二充分条件; (注意使用条件) 思考与练习 1. 设 则在点 a 处( ). 的导数存在 , 取得极大值 ; 取得极小值; 的导数不存在. B 提示: 利用极限的保号性 . 在 的某邻域内连续