函数的奇偶性讲义.ppt

栏目导引 第一章　集合与函数概念 新知初探 思维启动 典题例证 技法归纳 知能演练 轻松闯关 精彩推荐典例展示 1．3.2　奇偶性 第一章　集合与函数概念 学习导航 偶函数和奇函数 新知初探思维启动 偶函数 奇函数 定义 条件 如果对于函数f(x)的定义域内_______一个x，都有 f(－x)＝_____ f(－x)＝_____ 定义 结论 函数f(x)叫做偶函数 函数f(x)叫做奇函数 图象 特征 图象关于_____对称 图象关于______对称 任意 f(x) －f(x) y轴 原点 想一想 具有奇偶性的函数的定义域有什么特点？ 提示：关于原点对称． 做一做 1.函数f(x)＝|x|是______函数(填“奇”或“偶”)． 答案：偶 2．若函数f(x)是奇函数且f(2)＝3，则f(－2)＝________. 答案：－3 典题例证技法归纳 题型一　函数奇偶性的判断： 题型探究 例1 (2)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称， 又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)， ∴f(x)为偶函数． (3)∵函数f(x)的定义域为{－1,1}， 关于原点对称，且f(x)＝0， 又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)， ∴f(x)既是奇函数又是偶函数． (4)显然函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数． (5)函数的定义域为R. 当x0时，－x0， 则f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1＝f(x)； 当x＝0时，f(－x)＝f(x)＝1； 当x0时，－x0，f(－x)＝－x＋1＝f(x)． 综上，对任意x∈R，都有f(－x)＝f(x)， ∴f(x)为偶函数． 【名师点评】　函数奇偶性判断的方法 (1)定义法： (2)图象法：即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用在解选择、填空题中． 题型二　奇偶函数的图象问题 如图，给出了偶函数y＝f(x)的局部图象，试比较f(1)与f(3)的大小． 【解】　法一：∵函数f(x)是偶函数，∴其图象关于y轴对称，补全图如图． 由图象可知f(1)f(3)． 例2 法二：由图象可知f(－1)f(－3)． 又函数y＝f(x)是偶函数，∴f(－1)＝f(1)，f(－3)＝f(3)， ∴f(1)f(3)． 【名师点评】　由于奇函数、偶函数图象的对称性，因而如果知道一个函数是奇函数或偶函数，只要把它的定义域分成关于原点对称的两部分，得出函数在一部分上的性质和图象，就可推出这个函数在另一部分上的性质和图象． 跟踪训练 2．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]， 若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示， 则不等式f(x)0的解集是________． 解析：由于函数f(x)是奇函数，所以图象关于原点对称(如图)，所以f(x)0的解集为{x|－2x0或2x≤5}． 答案：{x|－2x0或2x≤5} 题型三　函数奇偶性的应用 若f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时， f(x)＝x(2－x)，求函数f(x)的解析式． 例3 【名师点评】　此类问题的一般做法是： (1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内． (2)要利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．　 题型四　利用函数奇偶性求参数 已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b为偶函数，其定义域为[a－1,2a]，求f(x)的解析式． 例4 【名师点评】　利用函数奇偶性的定义求参数 (1)定义域含参：奇(偶)函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，可以利用a＋b＝0求参数． (2)解析式含参：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数可解． 答案：0　0 1．奇、偶函数的定义中f(－x)与f(x)的关系 (1)偶函数：f(－x)＝f(x)?f(x)－f(－x)＝0. (2)奇函数：f(－x)＝－f(x)?f(x)＋f(－x)＝0. 2．利用奇偶函数性质判断函数的奇偶性 (1)偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数； (2)奇函数的和、差仍为奇函数； (3)两个奇函数的积、商(分母不为0)为偶函数； (4)一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数． 方法感悟 3．函数的奇偶性与单调性的差异 奇偶性是函数在定义域上的对称性，单调性是反映函数在某一区间上的函数值的变化趋势．奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同，从这个意义上讲，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对定义域中的每一