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异方差的解决方法

* §5.4 异方差性问题的解决方法 一、对原模型进行变换 设原模型为 (5.4.1) 其中ui具有异方差性(其余假定都满足)。假定现在已知 (5.4.2) 其中k2为常数。现在的问题是经典假定遭到了破坏的 情况下,如何求出参数α、β的最佳线性无偏估计量? 解决这个问题的基本想法是对原模型(5.4.1)作适当 的变换,使变换后的随机项不再具有异方差,从而 可用OLS法求出参数的最佳线性无偏估计量。 用 去除(5.4.1)式两端,则得到新的模型: (5.4.3) 记 (5.4.4) 则模型(5.4.3)变为 (5.4.5) (5.4.5)中的参数α和β即原模型中的参数,但是随 机项 已经没有异方差性了。因为: 因此,对模型(5.4.5)应用OLS法,即可得出参数 α、β的最佳线性无偏估计量,问题得以解决。 例5.4.1 设模型(5.4.1)中ui的异方差结构为 (这是一种最常见的异方差结构),求α、β的最佳 线性无偏估计量。 在本例中 , ,用 xi 去除(5.4.1) 式各项,得 改写成 其中 由于变换后的模型中的随机项 已没有异方差, 应用OLS法得α和β的最佳线性无偏估计量: 二、加权最小二乘法(WLS) 在OLS法中,其基本原则是使残差平方和 (5.4.6) 达到最小,这是对满足经典回归假定而言,也就 是在等方差的情况下进行的。当随机项具有异方差 时,用 作为εi2的权数是合理的。 现在我们可以用权数将普通最小二乘法修正为: 使加权残差平方和 (5.4.7) 达到最小。这就是加权最小二乘法。 下面我们说明,这种加权最小二乘法同样可以消除 异方差性的影响。 设异方差是xi的函数 (5.4.8) 将(5.4.8)代入(5.4.7)得加权最小二乘法,要求 (5.4.9) 达到最小。 现在对原模型(5.4.1)作变换: (5.4.3) 对(5.4.3)应用普通最小二乘法,要求残差平方和: (5.4.10) 最小。显然,能使(5.4.10)达到最小的 也一定 能使(5.4.9)式达到最小,因为二者只差一个常数因子。 即两种方法得到的结果相同。两种方法实质上是一回 事。对原模型进行变换的方法实际上是加权最小二乘 法当 时的特例,也可以看作是加权最小二乘法 的直接应用。 三、广义最小二乘法 ( GLS ) 广义最小二乘法是处理广义线性模型的一种估计方法。 广义线性模型是指线性模型 (5.4.11) 并且有 (5.4.12) 其中 为未知常数,Ω是一个已知的n×n阶正定 对称矩阵: (5.4.13) 其它基本假定不变,称之为广义线性模型。 若将Ω换成In,则模型(5.4.11)就变成一般古典线性模型。 由于Ω为正定对称矩阵,必存在一个(n×n)阶非奇异矩 阵P,使得 (5.4.14) 且有 (5.4.15) 利用矩阵P对原模型进行变换,用P左乘(5.4.11)得, (5.4.16) 令 (5.4.17) 则(5.4.16)变为 (5.4.18) 此时 (5.4.19) 可见,变换后的模型(5.4.18),已满足全部基本假定, 可以对模型(5.4.18)应用普通最小二乘法,求得β的 广义最小二乘估计量为 (5.4.20) 将(5.4.17)代入(5.4.20) (5.4.20)′ (5.4.20)(或(5.4.20)′)称为广义最小二乘估计式。这种 将原模型(5.4.11)进行适当变换,变为模型(5.4.18), 然后对新模型(5.4.18)应用普通最小二乘法,求得参数 估计量,称作对原模型的广义最小二乘法,记作GLS。 当Ω = In时, (5.4.21) 此时广义最小二乘法就是普通最小二乘法。 参数的协方差矩阵 (5.4.22) (5.4.23) 其中ε为广义最小二乘估计量所对应的模型(5.4.11) 的样本残差。 四、广义最小二乘法的应用之一 —— 异方差问题的处理 设模型 (5.4.24) 或 假定随机项存在异方差,即 (5.4.25) 其余条件皆满足基本假定,此时u的方差协方差矩阵 具有对角形式: (5.4.26) 因为Φ是对角阵,所以 是 (5.4.27) 于是 (5.4.28) 便有 (5.4.29) 作变换 (

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