张贤达教授课件清华之讲下部分.pptxVIP

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2017-03-31 发布于江苏
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张贤达教授课件清华之讲下部分.pptx

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张贤达教授课件清华之讲下部分

清华大学张贤达教授《矩阵分析与应用》学习矩阵理论的很好的一部书 1 72 : Email: zxd-dau@tsinghua.edu.cn : FIT 3-117 : 0102 72 3 Jacobian Hessian 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 → Rp×q 3 72 3.1 Jacobian x ∈ Rm Hessian X ∈ Rm×n f ∈ R f ∈ Rp f(x) f : Rm → R f(x) f : Rm → Rp f(X) f : Rm×n → R f(X) f : Rm×n → Rp F ∈ Rp×q F(x) F : Rm → Rp×q F : R F(X) m×n Dx = 4 72 1. Jacobian 1 × m def ? ?xT ? ?x1 ,··· , ? ?xm f(x) Dxf(x) = ?f(x) ?xT = ?f(x) ?x1 ,··· , ?f(x) ?xm X ∈ Rm×n DvecT(X)f(X) = ?f(X) ?vecT(X) = ?f(X) ?X11 ,··· , ?f(X) ?Xm1 ,··· , ?f(X) ?X1n ,··· , ?f(X) ?Xmn vecT(X) = [vec(X)]T ?X DXf(X) = ? . . . ? ∈ Rn×m 5 72 f(X) X DXf(X) = ?f(X) T = ?f(X) ?xji n,m j=1,i=1 ? ?f(X) ?X11 ··· ?f(X) ?Xm1 ? . ... ?f(X) ?X1n ··· ?f(X) ?Xmn ? ? (1) DvecT(X)f(X) DXf(X) f(X) X Jacobian 6 72 DXf(X) DvecT(X)f(X) Jacobian 1 f(X) X ∈ Rm×n rvec(DXf(X)) = DvecT(X)f(X) DXf(X) = unrvec DvecT(X)f(X) unrvec(·) 1 Jacobian x = xf(x) = 7 72 m × 1 def ? ?x = ? ?x1 ,··· , ? ?xm T f(x) m × 1 def ?f(x) ?x1 ,··· , ?f(x) ?xm T = ?f(x) ?x X vec(X) = X ? ?vec(X) = ? ?X11 ,··· , ? ?Xm1 ,··· , ? ?X1n ,··· , ? ?Xmn T f(X) = ? . . . . ? = ?f(X) ?X 8 72 f(X) X vec( Xf(X)) = ?f(X) ?vec(X) = ?f(X) ?X11 ,··· , ?f(X) ?Xm1 ,··· , ?f(X) ?X1n ,··· , ?f(X) ?Xmn T X ? ?f(X) ? ?X11 ?f(X) ?Xm1 ··· ... ··· ?X1n ?f(X) ?Xmn ?f(X) ? ? (2) 9 72 (2) (1) X f(X) = DT Xf(X) f(X) Jacobian Jacobian Jacobian ) ( Jacobian 10 72 (covariant form of the gradient vector) (cogradient vector) Jacobian ( ) (covariant operator) ( ) Jacobian ? ?x T ? ?XT ( ) (cogradient operator) 11 72 X f(X) = DT Xf(X) 1 2 Rm×n X X ∈ (3) f(X) DvecT(X)f(X) f(X) = unvec DT vecT(X)f(X) f(X) ( ) DvecT(X)f(X) = [d1,··· ,dmn] (i,j) [ X f(X)]i,j = di+(j?1)n i = 1,··· ,m j = 1,···n (4) 12 72 x (gradient ?ow) x f(x) ( x ˙ = ? f(x) ) (1) (2) f(x) ?x ? . ? = ? . . = ? 13 72 2. f(x) = [f1(x),··· ,fp(x)]T p × 1 fi(x),i = 1,··· ,p Dxf(x) = ?f(x) T