微分几何直纹面与可展曲面.pptVIP

第四节 直纹面与可展曲面 (3)几种特殊的直纹面 （3）高斯曲率 4、腰曲线 二、可展曲面 3、单参数曲面族的包络 (3)特征线 4、命题3：一个曲面是可展的充分必要条件是高斯曲率为零。 命题4：曲面上的曲线是曲率线的充要条件是沿此曲线曲面的 命题5：可展曲面可以与平面成等距对应（简称展为平面）。 * 1、定义：由直线的轨迹所成的曲面称为直纹面。直线为直母线。 例如柱面，锥面，单叶双曲面，正螺面等。 与直纹面上所有直母线相交的曲线叫直纹面的导线。 2、直纹面的方程 （1）设导线为 ， 是过导线上一点 处的直母线上的单位向量，则有： 其中直纹面上一点 P 到导线 上的点 的距离为v。 （2）坐标曲线 v-曲线， 为直母线； u-曲线， 为与导线平行的曲线。 4、1 直纹面 为常向量，任意母线的方向不变，为柱面。 为常向量，任意母线过一定点，为锥面。 为导线上的切向量，为一空间曲线的切线曲面 3、直纹面的法向量与高斯曲率 （1）由 得 （2）当 P 点在直纹面的一条直母线上移动时，u不变，v变，法向量变化如下： a) ，法向量改变方向. b) ，法向量不改变方向， 即沿一条直母线有相同的法向量或切平面。 由 因此对于情形 a) 有 ，K0。 b) 有 ，K= 0。 另外注意到直纹面上有直线，即直母线，则一定是直纹面的渐近线，即直纹面上的渐近曲线。 定义:如图M， 为直母线 l , 的公垂线，当 垂足M沿直母线 l 趋向于极限位置M0，称为直母线 l上的腰点。 腰点的轨迹为腰曲线。它的表示为 特别地，当取腰曲线为导线时，上式中的向径 就是 ， 因此有 ，即它们垂直。 1、定义：称满足 的直纹面为可展曲面。 由前面的结论可知，这是情形（2），它沿一条直母线有同一个切平面，或沿一条直母线有同一法向量，因此，可展曲面是沿一条直母线有同一个切平面的直纹面。 2、命题1：每一个可展曲面或是柱面，或是锥面，或是一条曲线 的切线曲面。 证明：对于可展曲面有 ，取腰曲线为导线， （1）当 ，这时腰曲线退化成一点，所有直母线上的腰点为同一点，曲面为锥面。腰点即为锥面的顶点。方程为 （2） ，由于 ，则三向量共面，且 （3） 为常向量，所有直母线平行，为柱面。 给出一个单参数曲面族 …………（1） 对于不同的参数有不同的曲面，并假定函数（1）有一阶和二阶 连续偏导数。 （1）定义：如果有一曲面S，它的每一点是族（1） 中的一个曲 面 上的点，而且在S与 的公共点它们有相同的切平面； 反过来，对于族中的每一曲面 ，在曲面S上有一点P ，使 和S在P有相同的切平面，则称 S 为单参数平面族 的包络。 （2）包络面的方程 现在假定曲面族{ }的包络S存在，由上面的定义，S上任意点P(x,y,z)必在族中某一曲面上，而这个曲面由参数 来确定，所以包络面S上每一点对应于 的一个确定的值，因此 为S上点的坐标的函数，即 代入（1）得