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微积分课件函数的单调性与极值
3 单调性的应用 1. 函数极值的定义 二 函数的极值 一 函数的单调性 第三节 函数的单调性与极值 若 在区间（a,b)上单调上升 若 在区间（a,b)上单调下降 一、函数的单调性 定理1 1 单调性的判别法 证 应用拉氏定理,得 函数在 内单调增加. 解 函数的定义域为 . 例1 判断函数 的单调性. 例2 注1:要用导数在区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性． 解 注2：函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调． 1、单调区间定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点． 2、单调区间的划分 2 单调区间的求法 例3 解 单调区间为 例4 解 单调区间为 例5 证 二、函数的极值 一般地 定义 函数的极大值与极小值统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 注1：极值是函数的局部性概念，与最值不同； 注2：极大值可能小于极小值,极小值可能大于 极大值. 定理1(必要条件) 例如, 由费马引理易得函数取得极值的必要条件， 注2: 2. 函数极值的求法 注1: 定理2 (第一充分条件) 求极值的步骤: (不是极值点情形) 例6 解 极大值 极小值 图形如下 定理3(第二充分条件) 证 设 ) ( x f 在 0 x 处具有二阶导数 , 且 0 ) ( 0 = x f , 0 ) ( 0 x f , 那末 (1) 当 0 ) ( 0 x f 时 , 函数 ) ( x f 在 0 x 处取得极大值 ; (2) 当 0 ) ( 0 x f 时 , 函数 ) ( x f 在 0 x 处取得极小值 . （2）同理可以证明当 时 得寸进尺： ？？？ 解 例7 解 例8 注3:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.
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