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李毓秋 第六讲 概率及其二项分布 一、概率的定义 后验概率（或统计概率） 随机事件的频率 先验概率（古典概率） 古典概率模型要求满足两个条件： ⑴ 试验的所有可能结果是有限的； ⑵ 每一种可能结果出现的可能性相等。 二．概率的公理系统 1．任何随机事件Ａ的概率都是在0与1之间的正数，即 0 ≤ P（A）≤1 2．不可能事件的概率等于零，即 P（A）= 0 3．必然事件的概率等于1，即 P（A）= 1 三．概率的加法定理和乘法定理 概率的加法定理 若事件Ａ发生，则事件Ｂ就一定不发生，这样的两个事件为互不相容事件。 两互不相容事件和的概率，等于这两个事件概率之和，即 概率的乘法定理 若事件Ａ发生不影响事件Ｂ是否发生，这样的两个事件为互相独立事件。 两个互相独立事件积的概率，等于这两个事件概率的乘积，即 例1：某一学生从５个试题中任意抽取一题，进行口试。如果抽到每一题的概率为1／5，则抽到试题１或试题２的概率是多少？ 如果前一个学生把抽过的试题还回后，后一个学生再抽，则４个学生都抽到试题1的概率是多少？ 计　算 抽到第一题或第二题的概率应为抽到第一题的概率和抽到第二题的概率之和，即 例2：从30个白球和20个黑球共50个球中随机抽取两次（放回抽样），问抽出一个黑球和一个白球的概率是多少？ 抽出一个白球的概率为3／5,抽出一个黑球的概率为2／5。 抽出一个黑球和一个白球的情况应包括先抽出一个黑球、后抽出一个白球和先抽出一个白球、后抽出一个黑球两种情况。因此： 四、概率分布类型 概率分布（probability distribution）是指对随机变量取不同值时的概率的描述，一般用概率分布函数进行描述。 依不同的标准，对概率分布可作不同的分类。 １、离散型分布与连续型分布 依随机变量的类型，可将概率分布分为离散型概率分布与连续型概率分布。心理与教育统计学中最常用的离散型分布是二项分布，最常用的连续型分布是正态分布。 ２、经验分布与理论分布 依分布函数的来源，可将概率分布分为经验分布与理论分布。 经验分布（empirical distribution）是指根据观察或实验所获得的数据而编制的次数分布或相对频率分布。 理论分布（theoretical distribution）是按某种数学模型计算出的概率分布。 ３、基本随机变量分布与抽样分布 依所描述的数据的样本特性，可将概率分布分为基本随机变量分布与抽样分布（sampling distribution）。 基本随机变量分布是随机变量各种不同取值情况的概率分布，抽样分布是从同一总体内抽取的不同样本的统计量的概率分布。 五．二项分布 二项分布（bionimal distribution）是一种具有广泛用途的离散型随机变量的概率分布，它是由贝努里创始的，因此又称为贝努里分布。 1．二项试验 满足以下条件的试验称为二项试验： 一次试验只有两种可能的结果，即成功和失败； 各次试验相互独立，即各次试验之间互不影响； 各次试验中成功的概率相等，失败的概率也相等。 2．二项分布函数 二项分布是一种离散型随机变量的概率分布。 用 n 次方的二项展开式来表达在 n 次二项试验中成功事件出现的不同次数（X＝0，1…）的概率分布，叫做二项分布函数。 二项展开式的通式（即二项分布函数）： （6．7） 二项展开式的要点： 项数：二项展开式中共有n＋1项。 方次：p的方次，从n→0为降幂；q的方次从0→n为升幂。每项p与q方次之和等于n。 系数：各项系数是成功事件次数的组合数。 例３： 从男生占２/５的学校中随机抽取６个学生，问正好抽到４个男生的概率是多少？最多抽到２个男生的概率是多少？ 最多抽到２个男生的概率，等于１个也没有抽到、抽到１个和抽到两个男生的概率之和，即 3．二项分布图 以成功事件出现的次数为横坐标，以成功事件出现不同次数的概率为纵坐标，绘制直方图或多边图，即为二项分布图。 二项分布是离散型分布，其概率直方图是跃阶式。 二项分布的性质 从概率直方图可以看到，二项分布有如下性质： ①．当p=q时，图形是对称的。 ②．当p≠q时，直方图呈偏态。p＞q与p＜q时的偏斜方向相反。 4．二项分布的平均数和标准差 如果二项分布满足p＞q且 nq≥5（或者p＜q且 np≥5时，二项分布接近于正态分布。可用下面的方法计算二项分布的平均数和标准差。 二项分布的平均数为 5．二项分布的应用 二项分布函数除了用来求成功事件恰好出现X次的概率之外，在教育中主要用来判断试验结果的机遇性与真实性的界限。 例如，一个学生凭猜测做10个是非题，平均可以猜对5题。什么情况下可以说他是真会而不是猜测呢？ 这种问题需要用累积概率来算。当做对８题或８题以上时，累积概率为0.989，也就是说，