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* 主讲：左武魁 振 动 第 一 章 ( Vibration ) 第一章 振 动 §1.1 振动 §1.3 旋转矢量 §1.5 简谐振动的能量 §1.6 简谐振动的合成 §1.2 简谐振动的方程及基本特征 #§1.7 阻尼振动 受迫振动 共振 §1.4 简谐振动实例 o . . x F §1.4 简谐振动实例 一、 弹簧振子 ( spring oscillator ) 1. 动力学方程 F 称线性恢复力。 2. 运动学方程——微分式 证明： 3. 角频率 ( angular frequency ) F = - k x x 即 4. 运动学方程——积分式 ( The Example of Simple Harmonic Motion ) 二、单摆 ( simple pendulum ) ft 称准弹性力。 4. 运动学方程——积分式 证明： 证明：（略） l m ? o 当 时, 1. 动力学方程 证明： 当 时, 3. 角频率 f t = - mgθ θ = θ0 cos ( ω t + φ ) 2. 运动学方程——微分式 mg 1. 稳定平衡位置 2. 稳定平衡与简谐振动 证明：(略) 三、LC振荡器（P15?16） 如果物体离开平衡位置时就要受到恢复力的作用而返回，则该平衡位置称为稳定平衡位置。 质点在稳定平衡位置附近的微小振动都是简谐振动。 （可参单摆证明） L C - + ? k 1 2 1 2 3 U = U0 cosωt （略） 角频率： 四、在稳定平衡位置附近的微小振动 i = I0sinωt - + i - + t o o . . x F 例1.2 （P13） 解： 一弹簧振子沿 x 轴作简谐振动，已知弹簧的劲度系数k=15.8N/m，物体质量m = 0.1kg，在 t = 0时物体对平衡位置的位移x0= 0.05m，速度v0= - 0.628m/s。试写出此谐振动的振动方程。 因 x 0, v 0, 故取 φ = π/4 故振动方程为 （即旋转矢量在一象限） 一、弹性势能 §1.5 谐振动的能量 二、动能 三、机械能 故上式可写作 —— 普 适 —— 适于弹簧振子 ——适于弹簧振子 —— 普 适 —— 普 适 (以弹簧振子为例) 说明： 因EP = kx2/2 , E = kA2/2 均较易计算, 故计算动能时常用 Ek = E - EP ( The Energy of Simple Harmonic Motion ) (kinetic ~) (mechanical ~) 关于谐振动的能量的说明： 1. 任何简谐振动系统的机械能均可用下式计算 三、机械能 ( mechanical energy ) 3. 简谐振动的振幅和机械能的关系 简谐振动过程中，系统机械能守恒，但动能和弹性势能相互转换。 2. 弹性势能 四、 谐振动的能量曲线 总机械能 EP = kx2 / 2 动能 Ek = E - EP EP Ek E o x E EP Ek -A A 振幅不仅反应了振动的范围，而且还能反应出振动的强度（总能量的大小）。 1. 能量曲线 2. 弹性势能与动能的平均值 (以弹簧振子为例) 谐振动中势能与动能的平均值相等且等于总机械能的一半。 习1.9 （P44） 解： 一弹簧振子，已知弹簧的劲度系数k=25N/m ,当物体以初动能Ek0=0.2J和初势能EP0=0. 6J，振动时，求： (1) 振幅A； (2) 位移为多大时，势能和动能相等？ (3) 位移是振幅的一半时，势能多大？ (1) (2) 当Ek=EP 时 (3) x =A/2时 ?2 一、振动方向相同频率相同的简谐振动的合成 一个质点同时参与两个(或几个)振动方向相同、频率相同的谐振动。 分振动 x1=A1 cos (? t +? 1) 合振动保持原振动方向不变。 x 0 x x2 x1 ? ? ? ? ?1 x2=A2 cos (? t +? 2) x = x1+ x2 合振动方程 合振幅矢量 3. 结论：合振动也是同方向同频率的谐振动。 x =A cos ( ? t + ? ) §1.6 谐振动的合成 1. 条件： — 用旋转矢量合成 2. 分析 (Mix of Simple Harmonic Motion) 一、振动方向相同频率相同的简谐振动的合成 ?2 x1 x X 0 x2 ? ? ? ? ?1 x =A cos ( ? t + ? ) 合振动方程 式中 合振动振幅的大小不仅与分振动的振幅有关，而且与分振动的相位差有关。 可见： (Mix of Simple Harmonic Motion of T