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2、N个同方向同频率的简谐振动的合成 用旋矢法求解：A和φ 由图得 C O x P 由图得 一般结果 ? C O x P 当 时有 A a1 a2 一般结果 例：三个同频率? 同振幅A0 同方向的简谐运动的合成 相邻相位差为 ?/3 求：合振幅 A 解：画旋矢图 ?/3 由图很容易得到 A = 2A0 或将已知条件代入公式 得出结果（请自解） ?/3 练习：一质点同时参与了三个简谐振动，它们的振动方程 分别 为x1=Acos(?t+?/3), x2=Acos(?t+5?/3), x3=Acos(?t+?),求其合运动方程。 x=0 x o A A A 例14-10 已知两同方向同频率的简谐运动的运动方程分别为 求:(1)合振动的振幅及初相；（2）若有另一同方向同频率的简谐运动 。 则φ３为多少时，x1+x3的振幅最大？又φ３为多少时，x2+x3的振幅最小？ 解 （1）作两个简谐运动合成的旋转矢量图。因为Δφ=φ2-φ1=-π/2，故合振动振幅为 x A1 A2 o φ2 φ1 A φ 合振动初相位 （2）要使x1+x3振幅最大，即两振动同相，则由 Δφ=2k π 得 要使x2+x3的振幅最小，即两振动反相，则由 Δφ=(2k+1) π得 φ3=φ1+2kπ = 2kπ+0.75 π，k=0, ±1, ± 2,…… φ3=φ2+(2k+1) π = 2k π +1.25 π， k=0, ±1, ± 2,…… A r ------仍为简谐振动 2 A r 1 A r ? D 若?1= ?2 ,则 ?? 不变； 若?1 ? ?2 ,则 ?? 变； ------为一复杂运动 二、同方向不同频率的简谐振动的合成 旋转矢量法分析： 合振动 解析法分析： 设 合振动： 结论： 合振动已不再是谐振动 当 且都较大时： 　着重研究 相近且较大情况 ——“拍”现象（Beat) 较 随时间变化缓慢 则 较 随时间变化缓慢 合成振幅 将合成式写成谐振动形式 t o x1 x2 合振动可看做是振幅缓变的准谐振动 振幅调制因子 （Amplitude modulation factor） 解得 与摆幅无关 －－单摆的等时性 由 得 --- 谐振动方程 4、复摆(物理摆)的振动 C 质心 Ｏ 轴 l ? 比较 由转动定律 得 当小幅度摆动 令 转 动 正 方 向 弹簧振子： 单摆： 复摆： 决定于振动系统的内在性质 x (cm) 0.25 -0.5 0 t (s) 2 求：振动方程 （振动表达式） 解： 由图可知 初始条件： 对吗？ 初始条件v00 练习 (cm) O x A A/2 π/3 -π/3 A v0 例14-4.质量为m的物体放在光滑的水平面上，与两个完全 相同（倔强系数为k)的轻弹簧连结，L0为弹簧的自然长 度；将物体自中点右移 x0距离，静止后释放。求振动方 程。 解：质点在任意位置x所受合力： 由牛顿定律： x o x0 例14-5 如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的劲度系数 k=0.72N/m ，物体的质量m = 0.02kg . （1）把物体从平衡位置向右拉到x =0.05m 处停下后再释 放，求简谐运动方程； （3）如果物体在x = 0.05m 处时速度不等于零，而是具有向右的 初速度 v0 = 0.30m/s ，求其运动方程. （2）求物体从初位置运动到第一次经过A/2 处时的速度； 0.05 解:（1） 由旋矢图知 由旋矢图可知 （负号表示速度沿Ox 轴负方向） （2）求物体从初位置运动到第一次经过A/2 处时的速度； （3）如果物体在x = 0.05m 处时速度不等于零，而是具有向 右的初速度 v0 = 0.30m/s ，求其运动方程. （3）如果物体在x = 0.05m 处时速度不等于零，而是具有向右的初速度 v0 = 0.30m/s ，求其运动方程. 因为v0 0 ，由旋矢图可知 例14-6 一质量为0.01kg的物体作简谐运动，其振幅为0.08m，周期为4s，起始时刻物体在x=0.04m处，