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本章内容： §14-1 简谐振动 §14-2 谐振动的合成 §14-3 阻尼振动 受迫振动与共振 §14-1 简 谐 振 动 本节内容： 14-1-1 机械振动与电磁振荡 14-1-2 简谐振动方程与特征量 14-1-3 简谐振动的表示方法 14-1-1 机械振动 机械振动 以弹簧振子为例，以滑块为研究对象，平衡位置为坐标原点，对于小幅振动情况分析。 o V=0 o x v F=0，x=0 v F=0，x=0 F o V=0 一、简谐振动的描述 简谐振动方程 作用力的方向始终指向平衡位置，与位移的方向相反 x 位移 x t o T 根据牛顿第二定律 令 代入上式 这一微分方程的解为 称为质点的运动方程也称为质点的振动方程。 由胡克定律 A (1) 物体只在弹性力 （线性回复力）作用下发生的运动称为简谐振动。 (2) 满足 动力学方程的运动为简谐振动 (3) 在无外来强迫力作用下, 质点离开平衡位置的位移 是时间的正弦函数或余弦函数的直线运动是简谐振动。 判断一振动是否是简谐振动用三种定义中任何一种皆可。 总结上述分析给简谐振动下定义: 木块在静水中上下运动在不计阻力情况下为谐振动。 广义来说：某个物理量随时间的变化是正弦或 余弦，则可称该物理量做简谐振动。 ? K C L I I 能产生电磁振荡的电路称为振荡电路.最简单的振荡电路是由一电容器与自感线圈串联而成的LC回路. 简谐振动的速度和加速度 其中 t o T 2T 速度 v 称为速度幅值和加速度幅值。 总是和 方向相反 A 位 移 t o T 2T x a 加速度 简谐振动的振幅 周期 相位 1.振幅 称为振动的初始条件 振幅A与初始条件有关. 2.周期 T 频率? 角频率? 称为振动的角频率或圆频率。 周期：简谐振子完成一次振动所需要的最少时间 T,? 也称为固有周期和固有频率,由系统的性质来决定. 对于弹簧振子 3.相位和初相位 当A和?为一定时 振动物体在任一时刻的运动状态 (指位置和速度)完全(唯一地)由 决定。 是t =0时的相位,称为初相位。 称为振动的相位。 由初始条件确定 两个振动同相 任意时刻它们的相位差为 位移 x t o T 2T x2 x1 描述运动状态,反映振动周期性特点,可比较两个振动在步调上的差异。 相位的特点 称振动2超前振动1 ?? 当 时 o T 2T x2 x1 t 或者说振动1落后2 ?? 位移 x t o T 2T x2 x1 两个振动反相 4.简谐振动的能量 仍以弹簧振子为例 振动物体的动能为 振动物体的势能为 考虑到 则总能量 系统的总能量守恒 对于任何简谐系统都成立。 振动曲线 t T 曲线 t o T Ep Ek 从图可见，动能和势能的变化频率是位移变化频率的2倍，总能量并不改变。 势能对时间的平均值: 动能对时间的平均值: 结论: 1.即弹簧振子的动能和势能的平均值相等,且 等于总机械能的一半. 2.任一简谐振动总能量与振幅的平方成正比. 3.振幅不仅给出简谐振动运动的范围，而且还 反映了振动系统总能量的大小及振动的强度。 这些结论适用于任何经典的简谐振动。 14-1-3 简谐振动的表示方法 解析法或振动曲线表示法 x t T 2T A t 旋转矢量表示法 (非常重要） 作匀速转动矢量 ，其端点M M0 O x 矢量在x轴上的投影： 是简谐振动 旋转矢量和简谐振动之间有一一对应关系，因此我们可以用旋转矢量来表示简谐振动。 用一个匀速旋转矢量表示简谐振动所需要满足的条件： 1，矢量的角速度等于振动的角频率，矢量的长度等于振幅。 2， t=0 矢量与x轴的夹角等于振动的初相 任意时刻 矢量与x轴的夹角等于振动的相位。 t x o x A ?t+?0 两种表示法的对应关系 因此简谐振动也可以由一个匀速转动的矢量A来表示 这种方法可以更直观地表示出简谐振动的振幅和相位 复数表示法 根据欧拉公式 简谐振动： 有时为了方便 例: 设一音叉的振动为谐振动, ? =2? rad/s， 音叉尖端的振幅A=1.00 mm .试用旋转矢量法求以下三种情况的初相位，并写出 的运动方程。 1.当t = 0时, 音叉尖端通过平衡位置向x 轴的 正方向运动； 2.当t = 0时,音叉尖端在x 轴负方向一边且位移有最大值。 3.当t = 0时,音叉尖端在x 轴正方向一边.离开平衡 位置距离为振幅的一半, 且向平衡位置运动. 解： (1) ?0 x