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插值法与Lagrange插值
华长生制作 第3章 插值法 第3章 插值法 3.1 插值法 Lagrange插值 3.5 分段插值法 3.2 Newton插值 3.4 Hermite插值 3.6 三次样条插值 本章要点 用简单的函数(如多项式函数)作为一个 复杂函数的近似,最简单实用的方法就是 插值,而数据拟合则是另外一类的函数近 似问题. 本章主要介绍有关插值法的一些基本概念,及多项式插值的基础理论和几个常用的插值方法:Lagrange插值、分段线性插值、Newton插值、Hermite插值、三次样条插值 3.1 插值法 能否存在一个性能优良、便于计算的函数 一、插值问题 ------(1) 这就是插值问题, (1)式为插值条件, 二、代数插值多项式的存在唯一性 为了使插值函数更方便在计算机上运算,一般 插值函数都使用代数多项式和有理函数 本章讨论的就是代数插值多项式 且满足 --------(2) --------(3) --------(4) 上述方程组的系数行列式为n+1阶Vandermond行列式 定理1. 由Cramer法则,线性方程组(4)有唯一解 --------(2) --------(3) 则满足插值条件 的插值多项式 存在且唯一. 虽然线性方程组(4)推出的插值多项式存在且唯一 但通过解线性方程组求插值多项式却不是好方法 根据线性空间的理论 并且形式不是唯一的 且在不同的基底下有不同的形式 三、Lagrange插值多项式 --------(5) -------(6) 且满足 -------(7) n+1次多项式 -------(7) 且 -------(8) (请同学们思考) 从而 令 即 由(8)式,可得 -------(9) -------(10) 其中 -------(7,7) -------(11) 例1: 解: 且 在例1中,如果只给出两个节点169和225,也可以 作插值多项式,即1次Lagrange插值多项式,有两 个插值基函数,这种插值方法称为Lagrange线性 插值,也可以在n+1个节点中取相邻的两个节点 作线性插值 Lagrange线性插值基函数为 Lagrange线性插值多项式为 例2. 解: Lagrange插值基函数为 Lagrange线性插值多项式为 所以 满足 不会完全成立 因此,插值多项式存在着截断误差,那么我们 怎样估计这个截断误差呢？ 2 插值余项与误差估计 * * * *
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