改改—变化率与导数.pptVIP

一、变化率问题 问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球,回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 我们来分析一下: 思考? 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? 平均变化率定义: 若设Δx=x2-x1, Δy=f(x2)-f(x1) 则平均变化率为 思考? 观察函数f(x)的图象 平均变化率 表示什么? 练习： 三、导数的几何意义 应用： 例1 将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第 x(h)时，原油的温度（单位：0C）为 f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8).计算第2（h) 和第6（h）时，原由温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。 设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率. 即: 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数. 要注意,曲线在某点处的切线: 1) 与该点的位置有关; 要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在 此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线; 3) 曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点, 可以有多个,甚至可以无穷多个. P Q o x y y=f(x) 割线 切线 T 例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程. Q P y = x 2 +1 x y - 1 1 1 O j M D y D x 因此,切线方程为y-2=2(x-1), 即y=2x. 求曲线在某点处的切线方程 的基本步骤: ①求出P点的坐标; ②利用切线斜率的定义求 出切线的斜率; ③利用点斜式求切线方程. 练习:如图已知曲线 ,求: (1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程. y x -2 -1 1 2 -2 -1 1 2 3 4 O P 即点P处的切线的斜率等于4. (2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0. * * 气球的体积V(单位:L)与半径r (单位:dm)之间的函数关系是 如果将半径r表示为体积V的函数,那么 当V从0增加到1时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 当V从1增加到2时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 显然0.620.16 问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 所以，随着气球体积逐渐变大，它的____________逐渐变小了。 平均膨胀率 一般地，V1 V2时，平均膨胀率= r(V2) r(V1) V2 V1 问题2 高台跳水 在跳水运动中，运动员相对于水面高度h（单位:m）与起跳后的 时间t(单位:s)存在函数关系： h(t)= - 4.9 t2+6.5 t+10（如图） h(0.5) - h(0) 0.5 - 0 t:0 0.5时, v= t:1 2时, v= = 4.05(m/s) h(2) – h(1) 2 – 1 = - 8.2(m/s) 一般地,t1 t2时, v= h(t2) – h(t1) t2 – t1 平均速度 在某段时间内，高度相对于时间的变化率用__________描述。 答: (1)不是。先上升，后下降。 (2)平均速度只能粗略的描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态。 计算运动员在0≤t≤ 这段时间 里的平均速度：v=______，思考 下面的问题： (1)运动员在这段时间里是静止 的吗？ (2)你认为用平均速度描述运动员 的运动状态有什么问题？ 0m/s 这里Δx看作是对于x1的一个“增量”可用x1+Δx代替x2 同样Δy=f(x2)-f(x1) 上述问题中的变化率可用式子 表示 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率. O A B x y Y=f(x) x1 x2 f(x1) f(x2) x2-x1=△x f(x2)-f(x1)=△y 直线AB的斜率 例 已知f(x)=2x2+1 (1)求: 其从x1到x2的平均变化率； (2)求: 其从x0到x0+Δx的平均变化率，并求x0=1, Δx= 时， 的平均变化率。 解: (1) Δy Δx f(x2) –