刚体运动学讲义.ppt

若 M外// = 0 ? 角动量 J = Iω 守恒 转动惯量反映一个刚体质量相对于转轴的分布情况 若质量较多地分布在远离转轴的地方 ? 转动惯量大 若质量较多地分布在离转轴近的地方 ? 转动惯量小 角动量 J = Iω 守恒 若 I↑?ω↓ 若 I↓?ω↑ 以保证 Iω 乘积守恒 花样滑冰 P175 例6 Atwood 机：用一细绳跨过定滑轮，在绳的两端各悬挂质量为 m1 和 m2 的物体，其中 m1 m2 ，求它们的加速度及绳两端的张力 T1 和 T2。设绳不可伸长，质量可忽略，它与滑轮之间无相对滑动；滑轮的半径为 R，质量为 m，且分布均匀。 m1: m1g – T1 = m1a1 m2: m2g – T2 = - m2a2 x 竖直向下 滑轮： 滑轮重力施于轴心 ? 对转轴力矩= 0 支架给予滑轮的力施于轴心 ?对转轴力矩= 0 取逆时针方向为正的转动方向 外力矩：(T1 – T2)R 绳子不可伸长，且不打滑 m1: m1g – T1 = m1a1 m2: m2g – T2 = - m2a2 联立求解 若滑轮质量 m ? 0 P175 例7 如图所示，为测量刚体转动惯量的装置。待测的物体装在转动架上，细线的一端绕在半径为 R 的轮轴上，另一端通过定滑轮悬挂质量为 m 的物体，细线与转轴垂直。从实验测得 m 自静止下落高度 h 的时间为 t，求待测刚体对转轴的转动惯量。忽略各轴承的摩擦，忽略滑轮和细线的质量，细线不可伸长，预先测定转动架对转轴的转动惯量为 I0。 物体 m：mg – T = ma 待测刚体与转动架为整体： 绕定轴转动运动方程为：TR = (I + I0)β 细线不可伸长? a = Rβ m 自静止下落： 联立求解： P176 例8 如图所示，以水平力 f 打击悬挂在 P 点的刚体，打击点为 O。若打击点选择合适，则打击过程中轴对刚体的切向力 Ft 为 0，该点称为打击中心。求打击中心到轴的距离 ro。 刚体在水平力的力矩 fro 作用下作定轴转动 刚体的转动惯量为 转动的运动方程： 刚体质心的切向加速度： 沿切向的运动方程： ① ② ①②消去β? Ft = 0 ? 冲量矩 力矩在一段作用时间内的冲量称为冲量矩 冲量矩等于刚体角动量的增量 P177 例9 如图所示，一质量为 m 的子弹以水平速度射入一静止悬于顶端长棒的下端，穿出后速度损失3/4，求子弹穿出后棒的角速度ω。已知棒长为 l，质量为 M。 棒对子弹的阻力 f： 子弹对棒的反作用力 f’： f = -f’ P177 例10 如图所示，两个均匀圆柱各自绕自身的轴转动，两轴互相平行。圆柱半径和质量分别为 R1、R2、M1、M2。开始时两柱分别以角速度ω1、ω2同向旋转。然后缓缓移动它们，使互相接触。求两柱在相互间摩擦力的作用下所达到的最终角速度ω’1、ω’2。 最终状态：两柱表面没有相对滑动 ? ω’1、ω’2 反向， 两柱接触时，摩擦力大小相等 (f)，方向相反 f1 = -f2 r1、r2 方向相反 ? 力矩大小正比于半径，方向相同 消去 刚体的功和能 刚体的重力势能 相当于总质量 集中在质心 C 的高度 hC 上 刚体的转动动能 = J 力矩的功 f外i 是作用在质元Δmi 上的外力，在时间间隔 Δt 内，外力对定轴转动刚体所作的元功为： 角位移 刚体定轴转动的动能定理： P178 例11 如图所示，绳的上端缠绕在圆柱上，下端系以重物 mg。重物自然下垂，由静止开始降落，并带动圆柱转动。求重物降落了高度 h 时的速率 v。已知圆柱的质量和半径分别为 M 和 R，并设绳的质量可忽略，且不可伸长。 机械能守恒： 绳不可伸长：v = Rω P179 例12 如图所示，将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点，杆的质量 m 也与单摆的摆锤质量相等。开始时，直杆自然下垂，将单摆摆锤拉到高度 h0，令它自静止状态下摆，于铅直位置和直杆作弹性碰撞。求碰撞后直杆下端达到的高度 h。 碰撞前单摆摆锤的速度 碰撞后直杆的角速度：ω 单摆摆锤速度：v’ 角动量守恒： 弹性碰撞 ? 机械能守恒： 碰撞后 机械能守恒? 碰撞后摆锤达到的高度 杆的质心达到的高度 hC： 杆的下端达到的高度 复摆 刚体支于不通过质心的水平轴，在重力作用下作定轴转动，称为复摆 复摆是相对于单摆而言的，单摆的质量全部集中于下端，可看作质点 复摆则不能，需要用刚体的定轴转动来处理 复摆所受重力 mg 施于质心 C 支架支持复摆的力施于转轴 ? 对转轴的力矩为0 以 OC 线偏离竖直方向的角度θ表明摆的位置 θ增大方向为正的转动方向 运动方程： 如只作小角度的摆动 谐振动方程 通解： 周期： 如作大角度的振动，则振动不是简谐的 若初始