数值分析解线性方程组的迭代方法.pptVIP

迭代法研究的主要问题 1）迭代格式的构造； 2）迭代的收敛性分析； 3）收敛速度分析； 4）复杂性分析；（计算工作量） 5）初始值选择。 一、简单迭代思想 设矩阵A可逆，把矩阵A分裂为 则 三、Gauss-Seidel 迭代法 假设 * §3.5 大型方程组的迭代方法 定义:设｛xk｝是Rn上的向量序列， 又设x*＝（x1*，x 2*,…，x n*)Ｔ是Rn上的向量. 则称向量x*是向量序列｛x k｝的极限 ， 若一个向量序列有极限,称这个向量序列是收敛的. 向量序列的极限 如果 向量序列｛x k｝收敛于向量x*的充分必要 定理1 （i =1,2,…,n） 条件是 矩阵序列的极限 定义: 设｛Ak｝是 上的矩阵序列.若存在矩阵 则称矩阵A 是矩阵序列｛A k｝的极限，记为 若一个矩阵序列有极限,称这个矩阵序列是收敛的. 使得 矩阵序列｛A k｝收敛于矩阵A 的充分必要 定理2 （i, j =1,2,…,n） 条件是 这里 证： 依次取 x 为 ，其中 则 所以 定理3 的充要条件是对任何x∈Rn，有 设矩阵 定理4 ，则 的 充要条件是ρ( A) 1 证：矩阵A 相似于其Jordan标准型,即存在可逆矩阵P, 使得 J 为对角分块矩阵( Ji 称为Jordan块): 其中: ni 为特征值λi 的重数, 且 n1+n2+…+nr= n 由于 所以 而 迭代过程 B称为迭代矩阵。 给定初值 就得到向量序列 定义：若 称简单迭代法收敛，否则，称逐次逼近法不收敛或发散。 问题： 是否是方程组 x = B x + f 的解？ 结论1：任意给定初始向量 ，若由迭代公式(1)产生的迭代序列收敛到 ，则 是方程组 x = B x + f 的解。 证： 又如何判定所给迭代格式(1)是否收敛哪？ 迭代法收敛的条件 定理1：对任意初始向量 ，由（1）得到的迭代序列收敛的充要条件是迭代矩阵的谱半径 证： 因此 结论2：设矩阵 ，则 注：要检验一个矩阵的谱半径小于1比较困难，所以我们希望用别的办法判断迭代格式是否收敛。 定理2：若迭代法的迭代矩阵满足 （矩阵的某一种算子范数），则迭代格式 产生的序列 收敛于x = B x + f 的精确解x*，且有误差估计式： 证：由定理1、结论1和 知迭代格式产生的序列收敛于 x = B x + f 的精确解 x* 。且 整理即得估计式。 Remark: 因为矩阵范数 ， 都可以直接用矩阵的元素计算，因此，用定理2，容易判别迭代法的收敛性。定理2的条件只是充分的，而不是必要的，也就是说：如果 ，则迭代法收敛；但若 ，我们并不能断定迭代法就一定发散，此时需要用定理1来判定迭代法的敛散性。 迭代格式的收敛速度与初始值 x (0) 有关，同时也与||B|| 和? (B) 有关，一般来说， ||B|| 和? (B) 越小，收敛速度越快。 Def ： 称为迭代法的渐近收敛速度。 二、Jacobi迭代法 例1：用迭代法解方程组 解: 将方程组化为等价形式: 构造迭代格式: 取初始值 代入计算，得 注：如何判断迭代过程终止？ 利用定理2的误差估计式可以判断迭代过程是否可以终止，但这种方法比较麻烦，通常采用的方法是通过前后两次迭代近似值的差来判断，即利用： 终止迭代过程。 上述这种求解方程组的方法称为Jacobi迭代法。 Jacobi迭代法的步骤： 3、判断迭代格式的收敛性。取初值 x(0) 带入计算。 1、写出等价方程组—即将第 i 个方程的 xi 解出。 2、写出相应的迭代格式 分量式： 假设 A非奇异, 且 aii ≠0, i =1,2,…,n Jacobi 迭代矩阵形式 记 则有迭代格式： 上式称为Jacobi迭代格式，其中BJ 称为Jacobi迭代矩阵。 注：Jacobi 迭代矩阵BJ ： 其中的元素恰为原方程组系数矩阵A中的主对角 线元素换为0，而其余元素即为除以该行主对角元素 后的相反数。 Jacobi迭代法在计算xi(k+1)时所用分量仍为上一次近似 值的各个分量，但此时，我们已经求出了新近