数值计算方法插值法.pptxVIP

§ 1引言 问题的提出 函数解析式未知,通过实验观测得到的一组数据, 即在某个区间[a, b]上给出一系列点的函数值 yi= f(xi) 或者给出函数表 y=f(x) y=p(x) x x0 x1 x2 …… xn y y0 y1 y2 …… yn 第二章 插值法 满足 则称P(x)为f(x)的n次插值多项式。这种插值法通常称为代数插值法。其几何意义如下图所示 原理： 定理1 n次代数插值问题的解是存在且惟一的 证明: 设n次多项式 是函数 在区间[a, b]上的n+1个互异的节点 (i=0,1,2,…,n )上的插值多项式,则求插值多项式P(x) 的问题就归结为求它的系数 (i=0,1,2,…,n )。 由插值条件: (i=0,1,2,…,n),可得 这是一个关于待定参数 的n+1阶线性方 程组,其系数矩阵行列式为 称为Vandermonde（范德蒙）行列式，因xi≠xj （当i≠j），故V≠0。根据解线性方程组的克莱姆 （Gramer）法则，方程组的解 存在惟一，从而P(x)被惟一确定。 惟一性说明，不论用何种方法来构造，也不论用何种形式来表示插值多项式,只要满足插值条件(2.1)其结果都是相互恒等的。 x0x1 xixi+1 xn-1 xn y=f(x) y=p(x) a b 在插值区间?a, b?上用插值多项式p(x)近似代替f(x), 除了在插值节点xi上没有误差外，在其它点上一般是存在误差的。 若记 R (x) = f(x) - p(x) 则 R(x) 就是用 p(x) 近似代替 f(x) 时的截断误差, 或称 插值余项我们可根据后面的定理来估计它的大小。 插值多项式的误差 定理2 设f(x)在?a, b?有n+1阶导数， x0, x1,…, xn 为 ?a, b?上n+1个互异的节点, p(x)为满足 p(xi) = f(xi) (i=1,2, …, n) 的n 次插值多项式，那么对于任何x ? ?a, b?有 插值余项 其中 a?b 且依赖于x 证明 ( 略 ) 拉格朗日插值多项式 两个插值点可求出一次插值多项式,而三 个插值点可求出二次插值多项式。插值点增加到n+1 个时,也就是通过n+1个不同的已知点 ,来构造一个次数为n的代数多项式P(x)。与推导抛物插值的基函数类似,先构造一个特殊n次多项式 的插值问题,使其在各节点 上满足 即 由条件 ( )知, 都是n次 的零点,故可设 其中 为待定常数。由条件 ,可求得 于是 代入上式,得 称 为关于基点 的n次插值基函数(i=0,1,…,n) 以n+1个n次基本插值多项式 为基础,就能直接写出满足插值条件 的n次代数插值多项式。 事实上，由于每个插值基函数 都是n次值多项式,所以他们的线性组合 是次数不超过n次的多项式 , 称形如（2.8）式的插 值多项式为n次拉格朗日插值多项式。并记为 （2.8） §3 均差与牛顿插值多项式 拉格朗日插值多项式结构对称，使用方便。但由于是用基函数构成的插值，这样要增加一个节点时，所有的基函数必须全部重新计算，不具备承袭性，还造成计算量的浪费。这就启发我们去构造一种具有承袭性的插值多项式来克服这个缺点，也就是说，每增加一个节点时，只需增加相应的一项即可。这就是牛顿插值多项式。 由线性代数知,任何一个不高于n次的多项式, 都可以表示成函数 的线性组合, 也就是说, 可以把满足插值条件 p(xi)=yi (i=0,1,…,n)的n次插值多项式, 写成如下形式 其中ak (k=0,1,2,…,n)为待定系数,这种形式的插值多项式称为Newton插值多项式。我们把它记为Nn(x)即 （3.12） 可见，牛顿插值多项式Nn(x)是插值多项式p(x)的另一种表示形式, 与Lagrange多项式相比它不仅克服了“增加一个节点时整个计算工作重新开始”的缺点, 且可以节省乘除法运算次数, 同时在Newton插值多项式中用到差分与差商等概念，又与数值计算的其他方面有密切的关系. 它满足 其中ak (k=0,1,2,…,n)为待定系数，形如（3.12）的 插值多项式称为牛顿(Newton)插值多项式。 3.1差商