数列极限存在准则分析.pptVIP

1) 单调递增有上界的数列存在极限; 2) 单调递减有下界的数列存在极限. * * 2.1.3 数列极限存在的条件 定理2.9 单调有界数列必有极限? 定理2.9的几何解释： 以单调增加数列为例? 数列的点只可能向右一个方向移动? 其结果或者无限向右移动? 或者无限趋近于某一定点A? 而对有界数列只可能后者情况发生 ? 一 单调有界定理 M x1 x5 x4 x3 x2 xn A 定理2.9 (单调有界定理) 单调有界数列必有极限? 证 例如 由定理2.9 知 是单调减少且下界为1的数列; 是单调增加且上界为1的数列. 存在 . 实际上 故{an}有上界. 由单调有界定理，数列{an}有极限，记为a. 由于 对上式两边取极限得 例3 设S为有界数集. 证明若supS=a ? S，则存在严格单调递增数列{xn} ? S，使得 证 因为a是S的上确界， 故对任给的 ε 0， 同理 证(补) 因 且 多了最后一个正项， 从而 {an} 单增. 从而 对任意的n有 故{an} 有上界， 注 (1)这个极限值被瑞士数学家欧拉首先用字母e(是一个无理数,其值用e= 2.7182818284……)来表示，即 存在. 定理2.10的几何解释 柯西准则说明收敛数列各项随着n，m的越大，彼此越是接近，以至于n，m充分大时，任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任意小正数. 或形象地说，收敛数列的各项越到后面越是挤在一起. a1 a2 a3 a4 a5 柯西收敛准则的条件称为柯西条件. 二 柯西收敛准则 * *