数列的极限函数的极限.pptVIP

函数与极限 第二节 数列的极限 一、极限概念的引入(了解) 定义: 例3 当n趋于无穷大时，下列极限发散的是（ ） A B C D 四、数列极限的性质 第三节 函数的极限 例2 求(1) (2)  (3) 例1 函数 当 时， 有 则有 例 2 函数 当 时， 有 则有 定理（重点） 小 结 二、当 x ? x0 时，函数f(x)的极限 问题： x ? x0 指什么？ 定义 设函数 y ? f (x) 在点 x0 的某个去心邻域内有定义， 如果当 x ? x0 (但 x ? x0 )时，函数 f (x) 趋于一个常数 A， 则称当 x ?x0时，f (x) 以 A 为极限，记作 否则称当x ? x0时， f (x) 的极限不存在。 称当 x ? x0 时，f (x) 的极限存在， 1、当 x ? x0 时，函数 f (x) 的极限 定义 设函数 y ? f (x) 在点 x0 的某个去心邻域内有定义， 如果当 x ? x0 (但 x ? x0 )时，函数 f (x) 趋于一个常数 A， 问题：如何用数学语言刻画上述定义中的 如果当 x ? x0 (但 x ? x0 )时，函数 f (x) 趋于一个常 数 A， 要点：(1) x ? x0 : (2) f (x) 趋于一个常数 A : ? ? 0， ?? ? 0，有| f (x) ?A|? ? 定义 如果对于任意给定的正数 ? ，总存在一个正数 ?，使得当 时， 恒成立，则称当 x ?x0时，f (x) 以 A 为极限，记作 | f (x) ?A|? ? 注意：函数极限与 f (x) 在 x0 点处是否有定义无关。 小 结 2、左极限与右极限 时的极限。 分析：函数 f (x) 在 x ? 0 附近的表达式不同，因而由函数的极限定义直接求极限是不行的。 引例： 求分段函数 当 为求此极限，我们引入 下面定义、定理： 对于这一类型的极限怎样求？ 定义 设函数 y ? f (x) 在点 x0 右侧的某个空心邻域内有定义，如果当 x ? x0 且 x ? x0时，函数 f (x) 趋于一个常数 A，则称当 x ? x0 时，f (x)的右极限是 A，记作 设函数 y ? f (x) 在点 x0 左侧的某个空心邻域内有定义，如果当 x ? x0 且 x ? x0 时，函数 f (x) 趋于一个常数 A ，则称当 x ? x0 时，f (x)的左极限是 A，记作 3、极限与左右极限有如下关系： 定理 结论：常数函数的极限是它本身 例1　利用定义证明 证： 所以 * * “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 1、割圆术： 播放 ——刘徽 正六边形的面积 正十二边形的面积 正 形的面积 2、截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” ; 2 1 2 1 2 1 2 n n X n + + + = L 天截下的杖长总和为 第 ; 2 1 2 1 2 2 + = X 为 第二天截下的杖长总和 ; 2 1 1 = X 第一天截下的杖长为 按一定规则排列的无穷多个数 二、数列的定义 例如 称作数列，简记作 {xn} ，其中 x1 叫做数列的第一项， x2叫做数列的第二项，???， xn叫做数列的第n项，又称通项或一般项。 简记作 简记作 数列 数列 注意： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取 2.数列可以看成函数： 例 1 数列 我们考察 这个数列的通项为 当n无限增大时， 的变化趋势。 三、数列的极限 0.00000000093 0.00000095367 0.0009765625 0.03125 0.5 1073741824 1048576 1024 32 2 30 20 10 5 1 可见，当 n 无限增大时， 的变化趋势。 无限地趋近于常数0。 例2 通过实验观察 无限地趋近于常数 0 定义 对于数列{xn}，如果当n无限变大时， xn 趋于一个固定常数 A ，则称当 n 趋于无穷大时，数列 {xn} 以 A 为极限，记作 称数列{xn}收敛于A ； 如果数列{xn}没有极限(趋势不定或者趋于无穷大)， 就称{xn} 是发散的。 例如 数列{ }以 0 为极限，记作 或 趋势不定 收 敛 发 散 例 数列 所以该数列无极限。 数列的通项为 xn? (– 1)n+1 ， 当 n 无限增大时， xn