量子纠缠与贝尔不等式.PDF

量子纠缠与贝尔不等式 Jake 集智俱乐部“量子决策理论读书会” 2012-1-8 联合概率分布、纠缠态 经典联合概率 ? 经典硬币 ? 该表就是一个经典联合概率分布，表示Pr{A=i B= j} ? Pr{A=i}=Pr{A=i B=0}+Pr{A=i B=1} ? Pr{B=i}=Pr{A=0 B=i}+Pr{A=1 B=i} ? 上式i=0或1 A\B 0 1 0 1/3 1/3 1 1/6 1/6 经典独立事件 ? 如果两个事件X,Y相互独立，则： Pr{XY}=Pr{X}*Pr{Y} ? 因此，Pr(AB)=Pr(A)*Pr(B),A与B独立。 ? 如果Pr{XY}Pr{X}*Pr{Y}，则说X,Y有关联。 A\B 0 1 Pr(B) 0 2/9 4/9 2/3 1 1/9 2/9 1/3 Pr(B) 1/3 2/3 向量表示 ? A={0,1}可以用向量表示为： ? P(A)=p(0)|0+p(1)|1 ? P(B)=p(0)|0+p(1)|1 ? 那么联合概率分布表示为向量： ? P(AB)=p(0,0)|00+p(0,1)|01+p(1,0)|10+p(1,1)|11 ? 如果A,B相互独立，则 11)1()1(10)0()1( 01)1()0(00)0()0()( BABA BABA pppp ppppBAP ?? ?? 向量的直积 ? |X=x1 |0 + x2 |1 ? |Y=y1 |0 + y2 |1 ? 则这两个向量的直积为： ? 定义22122111 ????????? yxyxyxyxYX jiij ??22122111 yxyxyxyxYX ????? 独立事件的概率 ? 采用向量记法，独立事件的分布向量就是 两个事件分布向量的直积 )()( )1)1(0)0(()1)1(0)0(( 11)1()1(10)0()1( 01)1()0(00)0()0()( BPAP pppp pppp ppppBAP BBAA BABA BABA ?? ???? ?? ?? 量子联合概率——复数概率 ? 量子硬币 ? 该表就是一个量子联合概率分布，满足模 方和等于1. ? 它可以写成向量的形式 A\B 0 1 0 1/2(CosPi+iSinPi) 3/4(CosPi/3+iSinPi/3) 1 Sqrt(5)/4 1/2 11)1()1(10)0()1( 01)1()0(00)0()0()( BABA BABABA ???? ????? ?? ?? 相互独立的事件 ? 如果两事件的联合量子概率可以写成： ? 那么，A,B相互独立。 ? 如果某个联合概率向量ψ不能写成两个向量 的直积的形式，则称ψ为纠缠态。 ? 例如： )()()( BABA ??? ?? 1100)( yxBA ??? 纠缠态举例 两个盒子，两只孪生萤火虫发生了量子纠缠，则： 11 2 1 00 2 1 )( ??BA? 小结 ? 所谓的纠缠态就是一类特殊的联合分布 ? 纠缠态不能写成两状态向量直积的状态 ? 经典概率中也存在着纠缠态 ? 注意，不独立的两个事件不一定处于纠缠态。 ? 思考纠缠态和非纠缠态哪个更多 A\B 0 1 P(B) 0 1/2 1/4 3/4 1 1/8 1/8 1/4 P(A) 5/8 3/8 一个不独立但是也不纠缠的例子： 贝尔不等式 背景 ? 贝尔不等式并不是量子世界的法则 ? 它是经典概率必须满足的铁律 ? 但是，却被量子概率打破 ? 处于量子纠缠状态的系统可以打破贝尔不 等式 2个事件的关联 ? 考虑一个缸子中充满了球。 ? 每个球可能是红绿两种颜色(A) ? 可能是木、钢两种材质(B) ? 两个属性、三个事件 ? P(A), P(B), P(AB) ? 我们知道P(X)必须在[0,1]区间内 ? 是否满足这个要求的所有[0,1]区间内的数 都可以赋给P(A),P(B),P(AB)吗？ ? 考虑这样的事件是否可能？ ? P(A)=0.3, P(B)=0.8, P(AB)=0.02 2个事件的关联 ? 任意三个数p(A),p(B),p(AB)要想成为事 件的概率必须满足如下不等式 ]1,0[)()()( ??? BApBpAp ]1,0[)()()()( ????? BApBApBpAp? 关联多边形 所有可能的三个数组合 p(A),p(B),p(AB)都在这个多 边形内部 全部的不等式约束： p(A) p(AB) p(B) (1,0,0) (0,1,0) (1,1,1) (0,0,0) 1)()()(0 )()(0 )()(0 1)(),(0 ???? ?? ?? ?? BApBpAp BpBAp ApBAp BpAp 3个事件的关联多边形 ? 类似地，对于三个