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第十八章 曲面积分 例5. 例7. 求椭圆柱面 内容小结 设 例6. 计算 其中 ? 是介于平面 之间的圆柱面 分析: 若将曲面分为前后(或左右) 则 解: 取曲面面积元素 两片, 则计算较繁. 位于 xoy 面上方及平面 z = y 下方那部分柱面 ? 的侧面积 S . 解: 取 * * 2008／05／24 §18.1 第一型曲面积分 一、曲面的表示 特殊地： 特殊地： 一、第一型曲面积分的概念与性质 引例: 设曲面形物质具有连续面密度 类似求平面薄板质量的思想, 采用 可得 求质 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 的方法, 量 M. 其中, ? 表示 n 小块曲面的直径的 最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者). 二、第一型曲面积分 则第一型曲面积分存在. ? 对积分域的可加性. 则有 ? 线性性质. 在光滑曲面 S上连续, 第一型曲面积分与第一型曲线积分性质类似. ? 积分的存在性. 若 S 是分片光滑的, 例如分成两 片光滑曲面 定理: 设有光滑曲面 f (x, y, z) 在 ? 上连续, 存在, 且有 二、对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分 证明: 由定义知 而 (?光滑) 说明: 可有类似的公式. 1) 如果曲面方程为 2) 若曲面为参数方程, 只要求出在参数意义下dS 的表达式 , 也可将对面积的曲面积分转化为对参数的 二重积分. 特殊地： 解 解 例3. 计算曲面积分 其中?是球面 被平面 截出的顶部. 解: 思考: 若 ? 是球面 被平行平面 z =±h 截 出的上下两部分, 则 例4. 计算 其中? 是由平面 坐标面所围成的四面体的表面. 解: 设 上的部分, 则 与 原式 = 分别表示? 在平面 设 计算 解: 锥面 与上半球面 交线为 为上半球面夹于锥面间的部分, 它在 xoy 面上的 投影域为 则 思考: 若例3 中被积函数改为 计算结果如何 ?