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数学分析电子教案 重庆邮电大学数理学院 高等数学教学部 沈世云shensy@cqupt.edu.cn 2.定积分的几何意义 第二节 定积分存在的条件 一、定积分存在的充分必要条件 二、可积函数类 第三节、定积分的性质 第四节 定积分的计算 例4. 计算 例10 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 , 例12. 计算 例13. 计算 例14. 三 定积分的分部积分公式 二、椭圆积分 例6 求 原式 例7 设 , 求 . 解 解 例8 求 解 由图形可知 例9 求 解 速停车, 解: 设开始刹车时刻为 则此时刻汽车速度 刹车后汽车减速行驶 , 其速度为 当汽车停住时, 即 得 故在这段时间内汽车所走的距离为 刹车, 问从开始刹 到某处需要减 设汽车以等加速度 车到停车走了多少距离? 例11 利用定积分计算下列极限 解 例11* 计算 解 二 定积分的换元公式 定理 证 应用换元公式时应注意: （1） （2） 解: 令 则 ∴ 原式 = 且 解: 令 则 ∴ 原式 = 且 证: (1) 若 (2) 若 偶倍奇零 奇函数 例15 计算 解 原式 偶函数 单位圆的面积 证 （1）设 例16 （2）设 定积分的分部积分公式 推导: 性质4 补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立. 性质5 例 若 （定积分对于积分区间具有可加性） 则 性质6 证 解 令 于是 推论： 证 证 性质7： 证 （此性质可用于估计积分值的大致范围） 性质8 解 解 性质9 积分中值公式的几何解释： 解 由积分中值定理知有 使 性质10 一、 定积分计算的基本公式 二、定积分的换元公式 三、定积分的分部积分公式 四、杂例 五、椭圆积分 一 定积分计算的基本公式 考察定积分 记 积分上限函数 证 由积分中值定理得 补充 证: 例1 求 解 分析：这是 型不定式，应用洛必达法则. 证 证 令 基本公式 证 令 令 基本公式表明 注意 求定积分问题转化为求原函数的问题. 牛顿—莱布尼茨公式 牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系． 解: 例5 计算正弦曲线 的面积 . 解: 一、定积分存在的充分必要条件 达布定理 二、可积函数类 对定积分的补充规定: 说明 在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小． 证 性质1 证 （此性质可以推广到有限多个函数作和的情况） 性质2 性质3 * 第七章 定积分 §1. 定积分的概念 §2. 定积分存在的条件 §3. 定积分的性质 §4. 定积分的计算 第一节 定积分的概念 1. 问题的提出 2. 定积分的概念 a b x y o 实例1 （求曲边梯形的面积） 一、问题的提出 a b x y o a b x y o 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积． （四个小矩形） （九个小矩形） 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 曲边梯形如图所示， 曲边梯形面积的近似值为 曲边梯形面积为 实例2 （求变速直线运动的路程） 思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值． （1）分割 部分路程值 某时刻的速度 （2）求和 （3）取极限 路程的精确值 二、定积分的概念 定义 1、定积分的定义 被积函数 被积表达式 积分变量 记为 积分上限 积分下限 积分和 注意 (1) 积分值仅与被积函数及积分区间有关， 而与积分变量的字母无关. (2) 定义中区间的分法和 的取法是任意的. (3) 当函数 f(x)在区间 [a,b] 上的定积分存在时, 称 f(x)在区间 [a,b] 上(黎曼)可积 . 1. 与 的差别 是 的全体原函数 是 函数 是一个和式的极限,