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第一讲 数学和统计学基础知识 一、概率论基础知识 概率 随机试验 可以在相同条件下重复进行 每次试验的可能结果不止一个，但事先能明确所有的可能结果 进行一次试验之前不能确定会出现哪一个结果 实例 一枚硬币抛掷两次 在北京师范大学校园里询问任意一个学生的年龄 概率 样本空间(sampling space)/总体(population) 某一个随机试验的所有可能结果组成的集合，记为S 样本点(sampling point) 样本空间里的某一元素，即随机试验的某一可能结果 实例 一枚硬币抛掷两次，出现正面记为H，出现反面记为T 样本空间：{HH,HT,TH,TT} 样本点： HH,HT,TH,TT 概率 事件(event) 某一随机试验的样本空间的一个子集 实例：一枚硬币抛掷两次 事件A：出现两个正面 事件B：出现一个正面和一个反面 事件C：出现两个反面 概率 频率(frequency) 在相同条件下，某随机试验进行了n次，其中事件A发生了m次，则比值m/n称为事件A发生的频率，记fn(A) 实例：抛掷一枚硬币，事件A为出现正面 概率 概率(probability) S是某一随机试验的样本空间，对于其中的任意一个事件A赋予一个实数P(A)，如果P(A)满足下列三个条件，则称P(A)为事件A的概率。 概率 条件概率(conditional probability) 设A、B是两个事件，且P(A)0，称下式为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率： 实例 一枚硬币抛掷两次，出现正面记为H，出现反面记为T。事件A为“至少有一次H”，事件B为“两次都是同一面”。则事件A的概率为3/4，事件A和B同时发生的概率为1/4，在A发生的条件下B发生的概率为1/3 随机变量 随机变量(stochastic/random variable) 一个变量若它的值是由随机试验决定的，称其为随机变量。随机变量通常用大写字母X、Y、Z表示，其数值则用小写字母x、y、z表示 离散型随机变量(discrete random variable) 可能取到的值是有限个的随机变量 连续型随机变量(continuous random variable) 可能取到的值是无限个的随机变量 实例 离散型随机变量：扔一次骰子出现的点数；未出生婴儿的性别 连续型随机变量：人的身高；百米跑速度 概率密度函数 离散型变量的概率密度函数/概率分布 (probability density function/probability distribution) 实例 X：投掷两颗骰子出现的点数之和 X的PDF 概率密度函数 连续型变量的累积分布函数(cumulative distribution function) 实例 枪靶的半径为2米，若每枪都能击中枪靶，且击中靶上任一同心圆内的点的概率与该圆的面积成正比，则弹着点与靶心的距离X是一个连续型随机变量，其CDF为： 概率密度函数 连续型变量的概率密度函数(PDF) 实例 在上例中，PDF为： 概率密度函数 连续型变量的概率密度函数(PDF) 多维随机变量 多维随机变量 多个变量的取值由同一个随机试验决定，称这些变量为多维随机变量。 以下我们考虑最简单的二维随机变量，用(X,Y)表示，其数值用(x,y)表示 实例 离散型二维随机变量：每一位学生的性别和民族 连续型二维随机变量：每一位学生的身高和体重 多维随机变量 离散型变量的联合概率密度函数(joint PDF) 实例 譬如：既是男生又是满族的概率为0.08，既是女生又是回族的概率为0 多维随机变量 离散型变量的边缘概率密度函数 (marginal PDF) 实例 多维随机变量 离散型变量的条件概率密度函数 (conditional PDF) 表示在Y=y的条件下X=x的概率 譬如：f (满族, 女生)=0.10, f (女生)=0.49, f (满族|女生)=0.10/0.49=0.20 f (汉族, 男生)=0.27, f (男生)=0.51, f (汉族|男生)=0.27/0.51=0.53 多维随机变量 统计独立性 (statistically independence) 如果两个随机变量的联合PDF等于它们边缘PDF的乘积，则称这两个变量是相互独立的（independent）。两个变量独立意味着其中一个变量的结果不会影响另一个。 譬如：f (X=H,Y=H)=f (X=H)×f(Y=H)=1/2×1/2=1/4 …… 多维随机变量 连续型变量的联合概率密度函数 (joint PDF) 连续型变量的边缘概率密度函数 (marginal PDF