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中国传统数学的特点： （1）社会性 （2）算法化 （3）形数结合 （4）寓理于算，理论高度概括 《四元玉鉴》中卷“如象招数门”主要是讲招差术,实际上也是属于高阶等差级数问题,但其求和是通过招差公式,即内插法公式进行的.其中最后一题自注非常典型:“今有官司依立方招兵,初招方面三尺,次招方面转多一尺,得数为兵,今招一十五方,每人口支钱二百五十文,问兵及支钱各几何.答曰:兵二万三千四百人,钱二万三千四百六十二贯.” 招兵的人数以立方计算,也就是第一次招兵33＝27人,第二次招(3+1)3＝43＝64人,就这样一直招到第十五次,即(3十14)3＝173,十五次共招兵 S ＝33十43十……十173 直接求和,要进行大量的乘方计箕,朱世杰没有采用这个方法,而是利用招差公式求出招兵总数.我们把朱世杰的叙述写为现代形式的数表如下： 招差术 x0 x1 x2 …… xn-1 xn y0 y1 y2 …… yn-1 yn ?0 ? 1 ? 2 …… ? n-1 ? 0 ? 1 ? 2 …… …… …… …… …… ? 0 一差 二差 n-1差 美國著名的科學史家薩頓評論說:朱世杰是他所生存時代的,同時也是貫穿古今的一位最傑出的數學家,《四元玉鑒》是中國數學著作中最重要的一部,同時也是整個中世紀最傑出的數學著作之一. 3.4 “天元术”与“四元术” 四元術以天、地、人、物為未知數,常數項居中,旁邊記一“太”字,四元依次居於常數項的下、左、右、上,其冪次由它們與“太”字的距離決定,距離愈遠冪次愈高,相鄰兩元冪次之積記入相應行列的交叉處,不相鄰之元的冪次記入夾縫中.以x , y , z , u 分別記天、地、人、物,則四元術(只列出2次)的表示如： 四元高次方程組需列出4個這樣的式子。四元術的核心是四元消法，即將四元4式消成三元3式，再消成二元2式，最後消成一元高次方程，用增乘開方法求解。朱世傑的消元方法巧妙但文 字簡括,具體方法從清中葉以來即有各種不同的看法.在歐洲, 1779年別朱才研究了多元高次方程組的消法。 4.1 筹算向珠算的转变 珠算大约发明于宋元时代 口诀在宋元间已经具备 它是古代筹算逐渐演变的结果 元末陶宗仪《南村辍耕录》记载珠算, 元代珠算有某种程度的普及 《魁本对相四言杂字》给出珠算的算盘图 4 中国传统数学的式微 《魁本对相四言杂宇》是一本很浅的看图识字性质的书，可见珠算在当时已很普及。 十五世纪中期在一本木工手册《鲁班木经》中己规定了制造珠算盘的具体规格：“算盘式：一尺二寸长，四寸二分大。框六分厚，九分大，起碗底。线上二子，一寸一分；线下五子，三寸一分。长短大小，看子而做。”这时珠算盘没有横梁，用一线相隔，上二子下五子，还带有早期的性质。这里把算盘珠叫做算盘子。1524年，王文素在《算学宝鉴》卷五中说：“众九相乘，用于甚多，算盘子少，乘则不便，既乘已毕，只动一子居下，东仍如故”，也指珠算。 4.2 商业数学与计算技术 明代传统数学典籍: (1)《九章详注比类算法大全》(1450),10卷.明吴敬著,明代实用数学代表作之一。 (2)《古今算学宝鉴》(1524)、42卷,明王文素著.明代水平较高的数学著作。 (3)《盘珠算法》(1573),2卷,明徐心鲁编著,珠算著作. (4)《数学通轨》(1578),明柯尚迁编著,珠算著作. (5)《算学新书》(1584),明朱载堉著,此书很有新义,首次讨论了不同进位制的换算关系及高位数值的珠算开方程序. (6)《律学新说》(1584),4卷.朱载堉著,讲述音律学及相关的数学问题. (10)《直指算法统宗》(1592),明程大位著,有多种不同的版本,如17卷、13卷和12卷本等.该书为明代实用数学和珠算著作的代表作,流传极广,是明清时期最有影响的传统数学典籍.它是最早用珠算解数字二次、三次方程的典籍.这部著作还流传到了国外,对日本、朝鲜的数学发展起了重要的作用. (11)《算法纂要》(1598),《直指算法统宗》的删节本. 除了上述著作外,现存的明代传统数学著作还有十三、四种. (7)《律吕精义》(1569),20卷,朱载堉著,该书主要讲述音律学、度量衡及相关的数学问题. (8)《嘉量算经》,朱载堉著,该书主要讲述度量衡的数学问题。 (9 )《圆方句股图解》,朱载堉著,讨论句股问题的几何著。 程大位(公元1533-1606年),字汝思,号宾渠,新安人.　　程大位原是一个商人,20多岁起就在长江中下游一带经商.在商务中,他留意数学,认真