数学建模,数学规划模型.pptVIP

数学建模（Mathematical Modeling) 黑龙江科技学院理学院 工程数学教研室 1、例1： 设该厂生产x1台甲机床和x2台乙机床时总利润最大，则x1,x2应满足: 目标函数 : 约束条件 : 线性规划模型矩阵的形式： 例如线性规划 Matlab标准型为 5、求解线性规划的Matlab解法 单纯形法是首先由George Dantzig于1947年提出的，近60年来，虽有许多变形体已被开发，但却保持着同样的基本观念。由于有如下结论：若线性规划问题有有限最优解，则一定有某个最优解是可行区域的一个极点。基于此，单纯形法的基本思路是：先找出可行域的一个极点，据一定规则判断其是否最优；若否，则转换到与之相邻的另一极点，并使目标函数值更优；如此下去，直到找到某一最优解为止。 例5.1.2 求解下列线性规划问题 解 （i）编写M文件 c=[2;3;-5];a=[-2,5,-1]; b=-10;aeq=[1,1,1]; beq=7; x=linprog(-c,a,b,aeq,beq,zeros(3,1)) value=c*x （ii）将M文件存盘，并命名为example1.m。 （iii）在Matlab指令窗运行example1即可得所 求结果。 例5.1.3 求解线性规划问题 例5.15拟分配n人去干n项工作，每人干且仅干一项工作，若分配第i人去干第j项工作，需花费cij单位时间，问应如何分配工作才能使工人花费的总时间最少？ 引入变量xij，若分配i干j工作，则取xij=1，否则取xij=0。上述指派问题的数学模型为: 可行解既可以用一个矩阵(称为解矩阵)表示，其每行每列均有且只有一个元素为1，其余元素均为0，也可以用1,…,n中的一个置换表示。 求解指派问题的匈牙利算法 由于指派问题的特殊性，又存在着由匈牙利数学家D.Konig提出的更为简便的解法—匈牙利算法。算法主要依据以下事实：如果系数矩阵C=cij一行（或一列）中每一元素都加上或减去同一个数，得到一个新矩阵B=bij，则以C或B为系数矩阵的指派问题具有相同的最优指派。 例5.1.6 求解指派问题，其系数矩阵为 将第一行元素减去此行中的最小元素15，同样，第二行元素减去17，第三行元素减去17，最后一行的元素减去16，得 再将第3列元素各减去1，得 以B2为系数矩阵的指派问题有最优指派 例5.1.7 求解系数矩阵C的指派问题 解 先作等价变换如下 容易看出，从变换后的矩阵中只能选出四个位于不同行不同列的零元素，但n=5，最优指派还无法看出。此时等价变换还可进行下去。步骤如下： （1）对未选出0元素的行打； （2）对行中0元素所在列打； （3）对列中选中的0元素所在行打； 重复（2）、（3）直到无法再打为止。 可以证明，若用直线划没有打的行与打的列，就得到了能够覆盖住矩阵中所有零元素的最少条数的直线集合，找出未覆盖的元素中的最小者，令行元素减去此数，列元素加上此数，则原先选中的0元素不变，而未覆盖元素中至少有一个已转变为0，且新矩阵的指派问题与原问题也等价。 上述过程可反复采用，直到能选取出足够的0元素为止。例如，对例5.1.7变换后的矩阵再变换，第三行、第五行元素减去2，第一列元素加上2，得 最优指派为 1. 整数规划的分类 如不加特殊说明，一般指整数线性规划。对于整数线性规划模型大致可分为两类： （i）变量全限制为整数时，称纯（完全）整数规划。 （ii）变量部分限制为整数的，称混合整数规划。 （iii）变量只能取0或1时，称之为0-1整数规划。 2.整数规划特点 （i）原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，其整数规划解出现下述情况： ①原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性规划最优解一致。②整数规划无可行解 （ii） 整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得。 分枝定界法 对有约束条件的最优化问题（其可行解为有限数）的可行解空间恰当地进行系统有哪些信誉好的足球投注网站，这就是分枝与定界内容。通常，把全部可行解空间反复地分割为越来越小的子集，称为分枝；并且对每个子集内的解集计算一个目标下界（对于最小值问题），这称为定界。在每次分枝后，凡是界限不优于已知可行解集目标值的那些子集不再进一步分枝，这样，许多子集可不予考虑，这称剪枝。这就是分枝定界法的主要思路。 设有最大化的整数规划问题A，与它相应的线性规划为问题B，从解问题B开始，若其最优解不符合A的整数条件，那么B的最优目标函数必是A的最优目标函数Z*的上界，记作 ；而A的任意可行解的目标函数值将是Z*的一个下界Z 。分枝定界法就是将B的可行域分成子区域再求其最大值的方法。逐步减小 和增大Z，最终求到Z*。