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数学建模培训－ 微分方程模型 上海第二工业大学理学院 邢丽 2010年3月 一、什么是微分方程？ 最最简单的例子 回答什么是微分方程： 建立关于未知变量、 未知变量的导数以及 自变量的方程 二、微分方程的解法 积分方法，分离变量法 可分离变量的微分方程 典型例题 三、建立微分方程数学模型 一、运用已知物理定律 例1 铀的衰变规律问题：放射性元素由于不断地有原子放射出微粒子变成其他元素，铀的含量不断的减少，这种现象称为衰变，由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比，已知t＝0时刻铀的含量为 ，求在衰变过程中铀的含量M（t）随时间t的变化规律。 一、运用已知物理定律 另一个例子：已知物体在空气中冷却的速率与该物体及空气两者温度的差成正比．设有一瓶热水，水温原来是100℃，空气的温度是20℃，经过20小时以后，瓶内水温降到60℃，求瓶内水温的变化规律． 二. 利用平衡与增长式 二. 利用平衡与增长式 三. 微元法 四.分析法 例2 简单人口增长模型 对某地区时刻 t 的人口总数N(t)，除考虑个 体的出生、死亡，再进一步考虑迁入与迁出 的影响. 在很短的时间段Δt 内，关于N(t)变化的一个 最简单的模型是： {Δt时间内的人口增长量}= {Δt内出生人口数}－{Δt内死亡人口数} + {Δt内迁入人口数}－{Δt内迁出人口数} {Δt时间内的净改变量} ={Δt时间内输入量}－{Δt时间内输出量} 般化 更一 基本模型 基本思想： 通过分析研究对象的有关变量在 一个很短时间内的变化情况. 例 一个高为2米的球体容器里盛了一半 的水，水从它的底部小孔流出，小孔的横截面 积为1平方厘米. 试求放空容器所需要的时间. 2米 对孔口的流速做两条假设 ： 1．t 时刻的流速v 依赖于 此刻容器内水的高度h(t). 2 ．整个放水过程无能 量损失。 分析： 放空容器 ？ 容器内水的体积为零 容器内水的高度为零 模型建立：由水力学知：水从孔口流出的 流量Q为通过“孔口横截面的水的体积V对时 间t 的变化率”，即 S—孔口横截面积（单位：平方厘米） h(t) —水面高度（单位：厘米） t—时间（单位：秒） 当S=1平方厘米，有 h(t) h+Δh r1 r2 水位降低 体积变化 在[t，t+Δt ]内，水面高度 h(t) 降至h+Δh (Δh0), 容器中水的体积的改变量为 令Δt 0, 得 dV=－πr2 dh， （2） 比较(1)、(2)两式得微分方程如下： 积分后整理得 0≤h≤100 令 h=0，求得完全排空需要约2小时58分. 另一个例子 有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律. 解 由力学知识得,水从孔口流出的流量为 流量系数 孔口截面面积 重力加速度 设在微小的时间间隔 水面的高度由h降至 , 比较(1)和(2)得: 即为未知函数的微分方程. 可分离变量 所求规律为 基本思想：根据对现实对象特性的认识， 分析其因果关系, 找出反映内部机理的规律. 例(独家广告模型)广告是调整商品销 售的强有力的手段, 广告与销售量之间有什 么内在联系？如何评价不同时期的广告效果？ 分析 广告的效果, 可做如下的条件假设： *1. 商品的销售速度会因广告而增大, 当商品 在市场上趋于饱和时，销售速度将趋于一个极 限值； *2. 商品销售率（销售加速度）随商品销售 速度的增高而降低； *3. 选择如下广告策略，t时刻的广告费用为： 建模 记 S(t) — t 时刻商品的销售速度； M — 销售饱和水平，即销售速度的上限； λ（＞0）— 衰减因子，广告作用随时间的 推移而自然衰减的速度. 直接建立微分方程 称 p 为响应系数，表征A(t) 对 S(t) 的影响力. 模型分析：是否与前三条假设相符？ 改写模型 假设1* 市场“余额” 假设2* 销售速度因广告作用增大, 同时 又受市场余额的限制. 2、复杂的数学模型 背景 年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口(亿) 5 10 20 30 4