数学物理方程..pptVIP

第三章 行波法陈有亮上海理工大学环境与建筑学院 * * 一维波动方程的定解问题 无界弦的自由振动 无界弦的强迫振动 半无界弦的自由振动 半无界弦的强迫振动 三维波动方程的定解问题 二维波动方程的定解问题 球对称情形 一般情形 球面平均法 行波法 降维法 有界弦的振动问题 第三章 行波法 * * 第三章 行波法 §1 弦振动方程的初值问题 §2 高维齐次波动方程 §3 非齐次波动方程 * * §1 弦振动方程的初值问题 1.1 达朗贝尔公式 1.2 达朗贝尔解的物理意义 1.3 二阶偏微分方程的分类 * * 1.1 达朗贝尔公式 先变换方程的形式 如果能够找到变量?、?,使 分析定解问题 求解此问题，先求方程的通解，再由初值条件确定出通解中的任意常数。 * * 1.1 达朗贝尔公式 定义 则 则方程（1.1）变为 此方程的通解可以很容易求出，再由初值条件可以确定出通解中的任意常数。 下面找?,?。 * * 1.1 达朗贝尔公式 显然满足(1.2)-(1.3)。 解方程(1.4) 将(1.5)代入(1.6)，得 下面通过初值条件确定f1, f2的具体函数形式。 将(1.7)代入初始条件，得 * * 1.1 达朗贝尔公式 * * 1.1 达朗贝尔公式 公式(1.8)就是齐次波动方程初值问题的达朗贝尔公式或达朗贝尔解。这种求解方法叫达朗贝尔解法或行波法。 * * 1.1 达朗贝尔公式 达朗贝尔解法先是通过作一个特殊的变换，求出了方程的通解，然后再由初值条件得到定解问题的特解。这种方法对一般方程来说是十分困难的。此方法一般只适合波动方程定解问题的求解。 * * 例1： 解：由达朗贝尔公式 * * 例2： * * 1.2 达朗贝尔解的物理意义 右传播波 左传播波 分别分析 和 * * 左传播波 右传播波 * * 区间 称为解在（x，t）的值的依赖区间。 从达朗贝尔公式中可以看出，u(x, t) 仅仅依赖于 中的初始条件。 依赖区间 它是过（x，t）点，斜率分别为 的直线与 x 轴所截而得到 的区间（如右图）。 1.3 二阶偏微分方程的分类 * * 1.3 二阶偏微分方程的分类 如果在初始时刻 t＝0，扰动仅仅在有限区间 上存在，则经过时间 t 后，扰动传到的范围为 影响区域 定义： 上式所定义的区域称为区间 的影响区域。 * * 定义 区间 过 作斜率为 的直线 过 作斜率为 的直线 则 它们与区间 一起围成的三角形区域 中的任意一点 ( x, t ) 的依赖区间都落在区间 内，因此该三角区域称为决定区域。 * * 一般地，对于偏微分方程 其特征方程为 这个常微分方程的积分曲线称为方程(1.9)的特征曲线，它只和二阶导数项的系数有关，与一阶项的系数无关。 1.3 二阶偏微分方程的分类 * * 并不是任意两阶线性偏微分方程（1.9）都有两族实的特征线。由（1.10）知，若 则方程（1.9）无实的特征线，且方程称为椭圆型方程；若 则每一点只有一条实的特征线，且方程（1.10）称为抛物型方程；若 1.3 二阶偏微分方程的分类 * * 则过每一点有两条相异的实特征线，方程（1.10）称为双曲型方程。如方程（1.1）的特征方程为 解之得，其特征线为 作线性变换 原方程转化为 1.3 二阶偏微分方程的分类 * * 然后可以很方便地进行求解。 行波法又叫特征线法。 1.3 二阶偏微分方程的分类 * * 例3： 解： * * 例4： 双曲型方程 特征方程 * * 于是 浙江大学