数学物理方程达朗贝尔公式.pptVIP

第三章 行波法 无界区域上偏微分方程的一种求解方法 对定解问题 * §3.1 达朗贝尔（ ）公式 1 无界弦自由振动的达朗贝尔公式推导 方程的特征方程为 解得特征线为 做变换 ，则 代入方程并化简得 其中 为两个任意函数。于是得偏微分方程 的 通解为 于是 的通解为 联立求解得 于是原问题的解为 这就是无界弦自由振动的达朗贝尔公式。 特解 例1 解定解问题 解 方程的特征方程为 解得特征线为 做变换 ，则 于是方程的通解为 两式联立，求解得 故原问题的解为 2 达朗贝尔公式的物理意义 的物理意义 (1) 即 t =0 时的波形 即 t 时的波形 表示在t时刻初始波以速度a沿x轴向右平移at个单位， 称为右行波。 同理 表示以速度a沿x轴的左行波。 的物理意义 (2) 行波 例2 在上述问题中，初值条件为 试说明其解的物理意义。 -2 2 0 1 2 可见右行波与左行波分别为 由达朗贝尔公式有 于是右行波与左行波的波形均为 随着时间的推移，其波形如图所示： 0 -2 -4 2 4 1 2 -2 2 4 0 1 2 -4 2 0 1 2 -2 -4 2 4 0 1 2 -2 -4 2 4 0 1 2 -2 -4 2 4 0 1 2 -2 -4 2 4 图形演示： （1）初位移不为零，初速度为零： 则解为 解的动画演示（my1） （2）初位移为零，初速度不为零： 则解为 解的动画演示（my2） 该式表示将函数 表示的波形向左、右以a的速度移动。 解：将初始条件代入达朗贝尔公式，有 例3 用达朗贝尔公式求解下列问题 3 依赖区间、决定区域和影响区域 看达朗贝尔公式，回答下面三个问题： （1） ，即在(x, t)处函数值由哪些初值决定？进一步 由x轴上哪些点对应的初值决定？ 答：由区间[x-at, x+at]上的初值决定。将此区间称为点(x, t) 的依赖区间。 进一步分析：方程的特征线为 过(x, t)的两条特征线与x轴的 交点正好是x-at和x+at. 如图 （2）区间 上的初值都能 确定哪些点处的函数值？ 特征线， 斜率1/a 特征线 答：过 和 分别作斜率 为 和 的两条直线，与x 轴围成的三角形区域内任一点的 函数值都可由 上的初值决 定。 称此区域为 的决定域。 依赖区间 决定区域 （3）区间 上的初值都能影响到哪些点处的函数值？ 答：过 和 分别作斜率为 和 的两条直线，与x轴围成的无界区域内任一点的函数值都能受到 上的初值的影响。 称此区域为 的影响域。 一点的影响域如图 影响区域 影响区域 4 齐次化原理 考虑非齐次问题 不能用达朗贝尔公式 可分解成如下两个问题 和 用达朗贝尔公式求解 如何求解？用齐次化原理 （Ⅰ） （Ⅱ） 齐次化原理： 若 是下列问题 的解，则（Ⅱ）的解为 # 解的进一步分析：令 ，则有 由达朗贝尔公式 ，有 于是 从而（Ⅱ）的解为 例4：求解下列初 值问题： 自己验证 原问题的解为 解：由如上公式，有 例５ 求解Goursat问题 解：令 即 于是有 补充作业： 解定解问题 作业：习题1，2，4；习题3（1）、（3）