弹性力学-平面问题的基本理论精要.ppt

（a）不计体力，将 代入平衡微 分方程第一式， 得: 两边对y积分，得 再由上下的边界条件 将 代入平衡微分方程的第二式, 对y积分，得 得 由上下的边界条件， 上述解答 及式(c),(d)已经满足平衡微分方程及 的边界条件；但一般不满足相容方程，且尚未校核左右端的小边界条件。 由此得 （b）若q为常数，则 ，得 代入相容方程， 为了满足相容方程， 此式 和式（c），（d）的一组应力分 量仍然满足平衡微分方程；再代入相容方 程，得 积分得 由次要边界条件 由此得 读者可检测，式（c），（d），（e）的一组应力已满足无体力，且q为常数情况下的平衡微分方程，相容方程，和应力边界条件（在x =0, l小边界上的剪力即为 的主矢量），因而是该问题之解。 1 例题2 例题3 例题4 例题7 例题5 例题6 例题 例1 试列出图中的边界条件。 M F y x l h/2 h/2 q (a) 解: (a)在主要边界 应精确满足下列边界条件： 在小边界x = 0应用圣维南原理，列出三个积分的近似边界条件，当板厚 时， 在小边界x = l，当平衡微分方程和其它各边界条件都已满足的条件下，3个积分的边界条件必然满足，可以不必校核。 (b) 在主要边界x= 0, b，应精确满足下列边界条件： F O x y q h (b) b/2 b/2 在小边界y = 0，列出3个积分的边界条件，当板厚 时， 注意在列力矩的条件时两边均是对原点o 的力矩来计算的。 对于y = h的小边界可以不必校核。 例2 厚度 悬臂梁，受一端的集中力F的作用。已求得其位移的解答是 试检查此组位移是否是图示问题的解答。 h/2 h/2 A x y l F O 解： 此组位移解答若为图示问题的解答，则应满足下列条件: (1) 区域内用位移表示的平衡微分方程 (书中式2－18）; （2）应力边界条件（书中式2－19），在 所有受面力的边界 上。其中在小边 界上可以应用圣维南原理，用3个积 分的边界条件来代替。 （3）位移边界条件（书中式2－14）。本 题在x = l的小边界上，已考虑利用圣 维南原理，使3个积分的应力边界条 件已经满足。 因此，只需校核下列三个刚体的约束条件： A点（ x = l及y = 0）， 读者可校核这组位移是否满足上述条件，如满足，则是该问题之解。 例3 试考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在 解：应变分量存在的必要条件是满足形变 相容条件，即 （a）相容； （b）须满足B = 0, 2A=C ； （c）不相容。只有C = 0，则 例4 在无体力情况下，试考虑下列应力分量是否可能在弹性体中存在： 解：弹性体中的应力，在单连体中必须 满足： （1）平衡微分方程； （2）相容方程； （3）应力边界条件（当 ）。 （a）此组应力满足相容方程。为了满足平 衡微分方程，必须A=-F, D=-E.此外，还应满足应力边界条件。 （b）为了满足相容方程，其系数必须满足 A + B = 0。 为了满足平衡微分方程，其系数必须 满足 A = B =-C/2。 上两式是矛盾的，因此此组应力分量 不可能存在。 例5 若 是平面调和函数，即满足拉普拉斯方程 试证明函数 都满足重调和方程， 因而都可以作为应力函数使用。 解： 上述函数作为应力函数，均能满足相 容方程（重调和方程）， (a) 例6 图中的梁，受到如图所示的荷载的作用，试用下列应力表达式求解其应力， x y l o q ql h/2 h/2 解：本题是按应力求解的，在应力法中，应力分量在单连体中必须满足 （1）平衡微分方程； （2）相容方程 ; （3）应力边界条件（在 上）。 将应力分量（a）代入平衡微分方程和相容方程，两者都能满足。 再校核边界条件，在主要边界上， 再将式（b