弹性力学-平面问题的直角坐标解答精要.ppt

由(a),(b) 解出 最后一个次要边界条件(x=l上)，在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件下，是必然满足的，故不必再校核。 代入应力公式，得 例题2 挡水墙的密度为 ，厚度为b,图示,水的密度为 ，试求应力分量。 y o x 解： 用半逆解法求解。 假设应力分量的函数形式。 因为在 y=-b/2边界上， y=b/2 边界上， ，所以可假设在区域内 沿x 向 也是一次式变化，即 2. 按应力函数的形式，由 推测 的形式， 所以 3. 由相容方程求应力函数。代入 得 要使上式在任意的x处都成立，必须 代入 ，即得应力函数的解答，其中已略去了与应力无关的一次式。 4. 由应力函数求解应力分量。将 代入式(2-24) ,注意 ， 体力求得应力分量为 考察边界条件： 主要边界 上,有 得 得 得 由上式得到 求解各系数，由 得 得 得 得 由此得 又有 代入A,得 在次要边界（小边界）x=0上，列出三个积分的边界条件： 由式(g),(h)解出 代入应力分量的表达式得最后的应力解答： 例题3 已知 试问它们能否作为平面问题的应力函数？ 解： 作为应力函数，必须首先满足相容方程， 将 代入， (a) 其中A= 0，才可能成为应力函数； (b)必须满足 3(A+E)+C=0,才可能成为应力函数。 思考题 2. 试证明刚体位移 实际上表示弹性体中 原点的平移和转动分量，并应用本节的解答加以 验证。 提示：微分体的转动分量为 弹性力学中关于纯弯曲梁的解答，与材料力学 的解答在应力、形变等方面完全 一致。由此 是否可以说在纯弯曲情况下材料力学中的平截 面假设成立？ §3-4 简支梁受均布荷载 简支梁 ，受均布荷载 及两端支撑反力 。 。 问题 y x o l l h/2 h/2 现采用此假设。 半逆解法 按半逆解法求解。 ⑴ 假设应力分量。由材料力学 因为 因为 所以，可假设 所以，可假设 因为 所以，可假设 ⑵ 由应力分量推出应力函数的形式。 由 对 x 积分， 对x再积分， (a) 半逆解法 ⑶ 将 代入相容方程，求解 : 相容方程对于任何 均应满足,故 的系数均应等于0，由此得三个常微分方程。 半逆解法 式(b)中已略去对于 的一次式。 将式(b)代入式(a)，即得 。 (b) 半逆解法 解出: 对称性条件─由于结构和荷载对称于 轴，故 应为 的偶函数， 为 x的奇函数，故 。 ⑷ 由 求应力。 半逆解法 在无体力下，应力公式如书中式( f ), (g),(h)所示。 ⑸ 考察边界条件。 由此解出系数A , B , C , D 。 主要边界 主要边界 次要边界 次要边界 由此解出H，K. 另一次要边界(x= -l )的条件，自然满足。 应用圣维南原理，列出三个积分条件， 最后应力解答： 应力 应力的量级 当 时, x ~l 同阶， y ~ h 同阶. 第一项 同阶,（与材料力学解同）; 第二项 同阶, （弹性力学的修正项） 同阶, （与材料力学解同） 应力的量级 同阶, （材料力学中不计） 当 时, 量级的值很小,可以不计。 应力与材料力学解比较: 最主要量级 , 和次要量级 ,在材料力学中均已反映，且与弹性力学相同。 最小量级 ~ , 在材料力学中没有。 当 时, 仅占主项 的1/15 ( 6 %) , 应力比较 中的弹性力学修正项： 弹性力学与材料力学的解法比较: 应力比较 弹性力学严格考虑并满足了A内的平衡微分方程 ,几何方程和物理方程,以及S上的所有边界条件(在小边界上尽管应用了圣维南原理,但只影响小边界附近的局部区域)。 材料力学在许多方面都作了近似处理,所以得出的是近似解答。 几何条件中引用平截面假定－－ 沿 为