弹性力学课件考试题精要.ppt

任何一个实际的弹性力学问题都是空间问题 2.1 平面应力问题与平面应变问题 平面应力问题 平面应变问题 2.2 平衡微分方程 2.3 平面问题中一点的应力状态 1. 应力状态：通过物体内同一点可作无数个方位不同的截面，各个截面上的应力一般来说是不同的。物体内同一点各个截面上的应力情况称为该点的应力状态。 斜面AB的外法线方向 n 的方向余弦为 斜面AB上的正应力 2.4 几何方程、刚体位移 3.圣维南原理的应用 (1) 对复杂的力边界，用静力等效的分布面力代替。 (2) 有些位移边界不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。 注意事项： (1) 必须满足静力等效条件； (2) 只能在次要边界上用圣维南原理，在主要边界上不能使用。 如： A B 主要边界 P 次要边界 例7 图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。 左侧面： 代入应力边界条件公式 右侧面： 代入应力边界条件公式，有 上端面： 为次要边界，可由圣维南原理求解。 y方向力等效： 对O点的力矩等效： x方向力等效： 注意： 必须按正向假设！ x y 上端面： （方法2） 取图示微元体， 可见，与前面结果相同。 注意： 必须按正向假设！ 由微元体的平衡求得， 2.8 按位移求解平面问题 1.弹性力学平面问题的基本方程 （1）平衡方程： （2-2） （2）几何方程： （2-8） （3）物理方程： （2-12） （4）边界条件： （1） （2） 2.弹性力学问题的求解方法 （1）按位移求解（位移法、刚度法） 以u、v 为基本未知函数，将平衡方程和边界条件都用u、v 表示，并求出u、v ，再由几何方程、物理方程求出应力与形变分量。 （2）按应力求解（力法，柔度法） 以应力分量 为基本未知函数，将所有方程都用应力分量表示，并求出应力分量 ，再由几何方程、物理方程求出形变分量与位移。 （3）混合求解 以部分位移分量 和部分应力分量 为基本未知函数，将，并求出这些未知量，再求出其余未知量。 3. 按位移求解平面问题的基本方程 （1）将平衡方程用位移表示 由应变表示的物理方程 将几何方程代入，有 （2-16） （ 2-17 ） 将式(2-17)代入平衡方程，化简有 （2-18） （2）将边界条件用位移表示 位移边界条件： 应力边界条件： （2-17） （2-14） 将式（2-17）代入，得 （2-19） 式（2-18）、（2-14）、（2-19）构成按位移求解问题的基本方程 说明： （1）对平面应变问题，只需将式中的E、μ作相替换即可。 （2）一般不用于解析求解，作为数值求解的基本方程。 （3）按位移求解平面问题的基本方程 （1）平衡方程： （2-18） （2）边界条件： 位移边界条件： （2-14） 应力边界条件： （2-19） 2.9 按应力求解平面问题 相容方程 按应力求解平面问题的未知函数： （2-2） 平衡微分方程： 2个方程方程，3个未知量，为超静定问题。 需寻求补充方程， 从形变、形 变与应力的关系建立补充方程。 1.变形协调方程（相容方程） 将几何方程： （2-8） 作如下运算： 显然有： （2-20） —— 形变协调方程（或相容方程） 即： 必须满足上式才能保证位移分量 u、v 的存在与协调，才能求得这些位移分量。 例： 其中：C为常数。 由几何方程得： 积分得： 由几何方程的第三式得： 显然，此方程是不可能的，因而不可能求出满足几何方程的解。 2. 变形协调方程的应力表示 （1）平面应力情形 将物理方程 （2-20） （2-12） （a） 代入相容方程， 利用平衡方程 （2-2） 将上述两边相加： （b） 得 将 (b) 代入 (a) ，得： 将 上式整理得： （2-21） 应力表示的相容方程 （平面应力情形） （a） （b） （2）平面应变情形 将 上式中的泊松比μ代为： ， 得 （2-22） 应力表示的相容方程 （平面应变情形） 注意： 当体力 fx、fy 为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即 （2-23） 3.按应力求解平面问题的基本方程 （1）平衡方程 （2-2） （2）相容方程（形变协调方程） （2-21） （平面应力情形） （3）边界条件： （2-15） 说明： （1）对位移边界问题，不易按应力求解。 （2）对应力边界问题，且为单连通问题，满足上述方程的解是唯一正确解。 （3）对多连通问题，满足上述方程外，还需满足位移单值条件，才是唯一正确解。 例8 下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。 （1） （2） 解: （a） （b） （1）