弹性力学课件精要.ppt

二. 半逆解法 半逆解法是针对实际问题来求解的，半逆解法的具体步骤如下： 逆解法没有针对具体问题进行求解, 而是找出满足相容方程的应力函数, 来考察它们能解决什么问题。这种方法可以积累弹性力学的基本解答。 1. 根据弹性受力情况和边界条件等，假设部分或全部应力分量的函数形式； 2. 根据 由应力推出应力函数? 的形式； 3.将? 代入相容方程，求出? 的具体表达式； 4. 将? 代入 ，求出对应的应力分量。 5. 将应力代入边界条件 在s?上 考察它们是否满足全部边界条件(对于多连体，还须满足位移单值条件)。如果所有的条件均能满足，上述解答就是正确的解答。否则，就要修改假设，重新进行求解。 §3.2 矩形梁的纯弯曲 O y x h/2 h/2 y M M h 1 ?x l 设有矩形截面的长梁(梁的长度 l 深度h )，它的宽度远小于深度和长度(近似的平面应力情况)，或远大于深度和长度(近似的平面应变情况), 两端受相反的力偶而弯曲，体力不计。（取?=1） 相应的应力分量为 矩形截面梁纯弯曲问题，可借助由逆解法得出的应力函数 ? = ay3 。显然，? 满足相容方程 O y x h/2 h/2 y M M h 1 ?x l 1.考察上下两个主要边界的边界条件 上下边都没有面力，要求 此边界条件满足。 2.考察左右端次要边界的边界条件 左右两端没有 y 向的面力，分别要求 此边界条件也满足。 x = 0, l 为小边界，可以用圣维南原理，将关于?x 的边界条件用主矢量和主矩的条件代替。 这些应力分量是否能满足边界条件？如能满足，a 取什么值？ h 1 y O x h/2 h/2 y M M ?x l 将 代入上两式 前一式总能满足，后一式要求 代入 得 注意到 得应力分量 与材力结果相同。 §3.3 位移分量的求出 以纯弯曲矩形梁为例，说明如何由应力分量求出位移分量。（求解步骤） h 1 y O x h/2 h/2 M M l 将 代入 得形变分量 1. 将应力分量分量代入物理方程 2. 将形变分量代入几何方程, 再积分求位移 将 代入 得位移分量 h 1 y O x h/2 h/2 M M l 将前二式积分，得 f1, f2 为待定函数，可通过第三式求出。 将上式代入 ，得 移项，得 等式左边是 y 的函数，而右边是 x 的函数，因此，只可能两边都等于同一常数?。于是有 h 1 y O x h/2 h/2 M M l 积分，得 代入 得位移分量 其中常数 ?, u0, v0表示刚体位移，由约束条件求得。 h 1 y O x h/2 h/2 M M l 3. 由约束条件确定常数 ?, u0, v0 如图简支梁，约束条件是 M M y O x l A 代入 求出 ?, u0, v0，就得到简支梁的位移分量 有 梁轴的挠度方程为 与材料力学的结果相同。 M M y O x l 如图悬臂梁，x=l 处，对于 ? h/2 ? y ? h/2, 要求 u = 0, v = 0 在多项式解答中这条件是无法满足的。在工程实际中这种完全固定的约束也是不大能实现的。 现在，假定固定端的中点不移动，该点的水平线段也不转动。这样，约束条件是 代入 有 求解得 得出悬臂梁的位移分量 M M y O x l 梁轴的挠度方程为 与材料力学的结果相同。 对于平面应变情况下的梁，须把E换为 ，把 ? 换为 。 h 1 y O x h/2 h/2 M M l 由 可见， 不论约束情况如何(不论 ?, u0, v0取何值)铅直线段的转角都是 同一横截界面上x是常数，因而?是常量。 x y O P B A P A B ? ? 于是可见，同一截面上的各铅直线段的转角相同，说明横截面保持为平面。 4. 对结果的讨论 由 可见，梁的各纵向纤维 的曲率为 这是材料力学中求梁的挠度时所用的基本公式。 §3.4 简支梁受均布载荷 设有矩形截面梁，深度为h，长度为2l,，体力可以不计，受均布载荷q，由两端的反力ql 维持平衡。 (?=1 ) x y l h/2 h/2 O q l ql ql 此