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第一章 例1 直方图例 例2 分布表1 直方图1 分布表2 直方图2 直方图3 累积频率直方图 近似正态 分布函数 累积频率(%) 1 0.2 0.4 0.6 0.8 38 45 52 59 66 73 80 87 94 分数 数字特征 子样数字特征 子样矩 阶 原点矩 子样均值 子样方差 阶 中心矩 当子样以频数分布给出时 子样均值 子样方差 * 数理统计学 南昌大学理学院 数学系 参数估计 假设检验 点 估 计 区间估计 数理 统计 内容 2-2 回归 分析 方差 分析 参数检验 分布检验 方差分析 正交设计 一元回归 多元回归 据,以对所观察的问题作出推 数理统计学 (Mathematical Statistics) 是数学的一个分支 学科, 研究怎样有效地收集 , 整理和分析带有随机性的数 断或预测, 直至为采取一定的 决策和行动提供依据与建议。 第一章 抽样和抽样分布 §1.1 §1.1 母体和子样 母体—研究对象全体元素集合, 记为X . 个体—组成母体的每个元素,记为 . 样本,用 表示, n 为样本容量. 称 为母体X 的一个容量为 n 的子样值,或称子样的一个实现. 子样—从母体中抽取的部分个体,称 若母体 X 的子样 满足: (1) 与X 有相同的分布； (2) 相互独立， 则称 为简单随机子样. 随机 抽样 简单随机子样 重复抽样 非重复抽样 独立同分布 近似独立同分布 条件： 总体容量 设母体X的分布函数为F (x),则子样 若母体X 的密度函数为f( x),则子样 的概率密度函数为 的概率分布函数为 若母体X为离散情形,则子样 的联合概率分布为 例如 设某批产品共有N 个,其中的次品数为M, 其次品率为 若 p 是未知的,则可用抽样方法估计. 其概率分布 从这批产品中任取一个产品,用随机 变量 X 来描述它是否是次品: 设有放回地抽取一个容量为n的子样 的联合分布为 其子样值为 样本空间为 若抽样是无放回的,则前次抽取的结果会影响后面抽取的结果.例如 所以, 当子样容量 n 与母体中个体数目N 相比很小时, 可将无放回抽样近似地看作放回抽样. 子样 中不含未知参数,则称 为统计量. 定义 统计量 统计量 的连续函数 例 是统计量, 不是统计量. 是未知参数,则 顺序统计量 顺序统计量 将子样值 由小到大 排列得 定义 r.v. 则称统计量 为顺序统计量. 三种形式 子样分布(刻画子样数据分布情况) 频数分布 频率分布 经验分布函数 直方图 一 子样频数分布和频率分布 子样分布 设从母体中抽得的子样为 按由小到大顺序排列为 相同数合并后排列为 其中 频数 相应的频数为 且 子样频 数分布 子样频率分布 频率 于是有 例1 从织布车间抽取12匹布检查每匹 布的疵点数，得子样 ( 1,0,0,2,1,3,2,0,1,1,2,1 ) 求子样频数分布和子样频率分布. 将12个数从小到大排列,相同的合并， 0,0,0,1,1,1,1,1,2,2,2,3 得子样频数表(子样频数分布) 0 1 2 3 3 5 3 1 得子样频率表(子样频率数分布) 0 1 2 3 1/4 5/12 1/4 1/12 频数 频率 经验分布函数 经验分布 为子样的经验分布函数. 设子样为 对任意实数 子样值中小于或等于 的个数为 则称 同分布函数 一样具有性质： 非降、右连续、 由子样频数分布得子样经验分布函数： 图 子样经验分布函数图形 1 o o x o o o 例1的子样经验分布函数： 例1图 例1的子样经验分布函数图形 1 o o x o o 格利汶科 由Chebyshev 大数定律, 对任意 即 子样经验分布函数 总 体分布函数 依概率收敛于 格利汶科(W.Glivenko)定理 当 时, 经验分布函数依概率 关于x均匀地收敛于母体分布函数 即 对固定x成立 (1)频数直方图 样本数据 频率直方图 经验分布函数 某班50名学生概率考试成绩如下： 75 65 80 81 92 63 77 79 54 98 85 72 66 84 83 60 82 78 64 90 81 78 76 86 68 76 73 71 88 87 直方图 65 57 46 89 78 66 87 79 84 78 96 88 67 38 67