数理金融八叉树模型与美式期权的风险管理.pptVIP

金融风险理论与模型 第5章 二叉树模型与美式期权的风险管理 5.1 概述 二叉树期权定价（Binomial option Pricing Model）由Cox,Ross,Rubinstein等人提出 为期权定价模型为B-S模型提供一种比较简单和直观的方法 二叉树模型已经成为建立复杂期权（美式期权和奇异期权）定价模型的基本手段 对于所有不能给出解析式的期权，都可以通过二叉树模型给出。 A Simple Binomial Model A stock price is currently $20 In three months it will be either $22 or $18 A 3-month call option on the stock has a strike price of 21. Setting Up a Riskless Portfolio Consider the Portfolio: long D shares short 1 call option Portfolio is riskless when 22D – 1 = 18D or D = 0.25 5.2 单期二叉树期权定价模型 考虑一个买权在当前时刻t，下期t=T到期，中间只有1期，τ=T-t 假设该买权的标的股票是1个服从二项分布的随机变量。当前股票价格为st=S是已知的，到期股票价格为sT，且满足 在当前时刻t，已知股票的价格为s，构造上述组合的成本为 由此得到的组合 称为合成期权（synthetic option），由无套利定价原则，在当前时刻t买权的价值为 例子 假设有1个股票买权合约，到期日为1年，执行价格为112美元，股票当前的价格为100美元，无风险利率为8％（连续复利折算为单利）。在到期日股票的价格有两种可能：180美元或者60美元，求期权的价值？ Dicussion: Risk-neutral probability p is Risk-neutral probability for all securities 。 stock’s expected relative return is Dicussion: Risk-neutral probability 在风险中性世界中，主观概率q没有出现。 虽然个人对q的信念是不同的，但是在期权的定价过程中并没有涉及到q，也就是人们对q认识的分歧并不影响对期权的定价结果。 投资者最终都一致风险中性概率p，它只取决于r，u，d这三个客观因子。 Dicussion: Risk-neutral probability 风险中性世界，不必考虑风险，这等价于假设投资者是风险中性的。 若在期初构造如下组合：以S的价格买入N股股票，同时以c的价格卖出1个期权，则该组合的投资成本为NS－c必然等于B。 若sT＝su 投资者虽然投资于有风险的股票和期权，但是由二者构成的组合NS－c，即相当于投资1个无风险的证券。 组合贴现率的贴现率只能是无风险利率 由于是无风险证券，对于理性投资者，不论其偏好如何，其风险态度对于这样的组合是无关紧要。只要考虑收益的大小即可，由此大大简化资产的定价。 基于上述的理由，只要以上述方式构建投资组合来对期权定价，就等价于假设投资者是风险中性的，既然是风险中性的，则对这样的组合定价就不必考虑风险问题。 5.3 两阶段二叉树定价模型 由于标的资产市场价格是1个连续（接近连续）的随机变量，不可能只有2种情形，因此可以考虑将时间T-t分为多段处理，首先介绍两阶段模型。 两阶段模型示意图 两阶段模型 第2期本来有4种状态，为简化分析，不妨规定u=1/d，则第2、3两种状态为同一结果，故将其合并。 期权到期日价值的所有可能值为 由1阶段模型可知，在风险中性条件下 定价思路：倒推定价法 首先得到2期节点的股票价格，从而得到该期的期权价格。 采用风险中性定价，通过贴现得到1期节点的股票价格和期权价格。 由1期的股票价格得到期权价格，得到当前期权的价格。 风险中性定价下，每一期的风险中性概率都是相同的。 5.4 n阶段二叉树定价模型 将定价日t到到期日T的时间进一步等分为n个阶段，每个阶段的长度为h 标的股票当前价格为St=S，而在以后任意一期，股价的变化有上升和下降两个可能。这样经过n期后（到期日T），若该股票上涨j次，下跌n-j次，到期日T股价ST为 recall： binomial distribution 假设在一个不透明的袋子中有N个球，其中M个是白色的，其余N-M个球是黑色的，则每次取球取到白球的概率是p=M/N。 若有放回